2⁰ + 2¹ + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ − 1 的证明

前话

在初二(?不太记得了)时做到一道题 $2^0+2^1+2^2+...+2^{100}=$见到这种题也是非常惊讶，这么大的数让我算???
因此直接找规律

具体过程

$2^0=1$
$2^0+2^1=3$
$2^0+2^1+2^2=7$
根据惊人的注意力发现
$1=2^1-1$
$3=2^2-1$
$7=2^3-1$
因此此题答案为$2^{101}-1$
不过这过于无理，于是想着证明

证明

先将问题一般化即证明$2⁰+2¹+\dots +2ⁿ=2^{n+1}-1$
根据对幂的了解，可以说$\mathrm{对}\mathrm{于}{a}^n，n\in N_{+}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{认}\mathrm{为}\mathrm{是}n\mathrm{个}a\mathrm{相}\mathrm{乘}$
那么我们为了得到$2^{n+1}$自然想到要在式子中加个1($2^0$)
那么左边变为
$2^0+2^0+2^1+2^2+...+2^n-2^0$
由于$2^n+2^n=2\ast (2^n)=2^{n+1}$
因此$2^0+2^0=2^1$
重复这个操作最终得到$2^{n+1}-2^0=2^{n+1}-1$