统计学_贾俊平——思考题第六章统计量及其抽样分布
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1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？
1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？
（1）设 X 1 ， X 2 ，...， X n 是从总体 X 中抽取的容量为 n 的一个样本，如果由此样本构造一个函数 T （ X 1 ， X2 ，...， X n ）， 不依赖于任何未知参数 ，则称函数 T （ X 1 ， X 2 ，„， X n ）是一个 统计量 。（2）在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。为了使统计推断成为可能， 首先必须把我们所关心的分散在样本中的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。（3） 统计量是样本的一个函数 。由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。
2．判断下列样本函数中哪些是统计量？哪些不是统计量？
T1＝（X1＋X2＋...＋X10）/10
T2＝min（X1，X2，...，X10）
T3＝X10－μ
T4＝（X10－μ）/σ
统计量中不能含有未知参数 ，故 T 1 、 T 2 是统计量， T 3 、 T 4 不是统计量。
3．简述 $\chi ^2$分布、t 分布、F 分布及正态分布之间的关系。
（ 1 ）随机变量 X 1 ， X 2 ，...， X n 相互独立，且都服从标准正态分布，则它们的平方和$\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$服从自由 度为 n 的 $\chi ^2$ 分布。（2）随机变量 X 服从标准正态分布， Y 服从自由度为 n 的 $\chi ^2$分布，且 X 与 Y 独立，那么$\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$服从自由度为 n 的 t 分布。（3）随机变量 Y 和 Z 分别服从自由度为 m 和 n 的 $\chi ^2$ 分布并且相互独立，那么$\frac{Y/m}{Z/n}$服从第一自由度为 m， 第二自由度为 n 的 F 分布。
4．什么是抽样分布？
近代统计学的创始人之一，英国统计学家费希尔曾把 抽样分布、参数估计和假设检验 看做 统计推断的三个中心内容 。 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质。 所以抽样分布的研究是统计学中的重要内容。在总体 X 的分布类型已知时，若对任一自然数 n，都能导出统计量 T＝T（X1，X2，...，Xn）的分布的数学表达式，这种分布称为精确的抽样分布。 在样本量 n 较小时，精确分布在统计推断问题十分有用。精确的抽样分布大多是在正态总体下得到的。在正态总体条件下，主要有 $\chi ^2$ 分布、 t 分布、 F 分布，常称之为统计三大分布。
5．简述中心极限定理的意义。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形（即正态）曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
