线段树
线段树(SegTree)
引入
现在有一个序列an，对于这个序列有一些操作，分别为：
1.将区间[i,j]内的所有数都加上k
2.询问区间[i,j]内的和
这是一个动态处理的过程，如果强行进行暴力的话，时间复杂度将会非常的高，于是，边考虑一种数据结构专门解决这一类问题，于是，就有了*线段树*
算法思想
线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。
对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。
使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。所以，用线段树可以在O(m*logn)的时间内完成这道题目，大概是10^5的数量级，可以承受。
那么线段树到底怎么用呢？
线段树是建立在线段的基础上，每个结点都代表了一条线段[a,b]。长度为1的线段称为元线段。非元线段都有两个子结点，左结点代表的线段为[a,(a + b) / 2]，右结点代表的线段为[((a + b) / 2）+1,b]。
在查询时，我们从根节点开始自顶向下找到待查询线段的左边界和右边界，则“夹在中间”的所有叶子节点不重复不遗漏地覆盖了整个待查询线段。(如查询【2，5】)
[1 2 3 4 5 6 7 8]
/ \
[1 2 3 4] [5 6 7 8]
/ \ / \
[1 2] [3 4] [5 6] [7 8]
/ \ / \ / \ / \
1 2 3 4 5 6 7 8
从图中不难发现，树的左右各有一条“主线”，虽有分叉，但每层最多只有两个结点继续向下延伸（整棵树的左右子树各一个）。如上图所示[2,5]=[2]+[3,4]+[5]。在后文中，凡是遇到这样的区间分解，就把分解的区间叫做边界区间，因为它们对应与分解过程的递归边界。
如何更新线段树呢？update(x,v)显然需要更新[x]对应的结点，然后还要更新他的所有祖先结点。
直接上代码，注意如果当前区间没有完全包含std区间的话，一定要push down
只支持区间加和的SegTree
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define MAXN 1000001
using namespace std;
ll n,m,a[MAXN],ans[MAXN<<2],tag[MAXN<<2];
inline ll Read()
{
ll s=0,k=1;
char c=getchar();
while(c!='-'&&(c<'0'||c>'9')) c=getchar();
if(c=='-') {k=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9') {s=(s<<3)+(s<<1)+c-'0';c=getchar();}
return s*k;
}
inline ll ls (ll x) {return x<<1;}
inline ll rs (ll x) {return x<<1|1;}
inline void push_up(ll x)//利用子节点更新父节点信息
{
ans[x]=ans[ls(x)]+ans[rs(x)];
}
inline void build (ll x,ll l,ll r)//建树
{
tag[x]=0;
if(l==r){ans[x]=a[l]; return;}
ll mid= (l+r)>>1 ;
build(ls(x),l,mid);build(rs(x),mid+1,r);
push_up(x);
}
inline void Add (ll x,ll l,ll r,ll k)//将l~r区间整体加上k
{
tag[x]+=k;
ans[x]+=k*(r-l+1); //直接修改和
}
inline void push_down (ll x,ll l,ll r)//下传懒标记 ，每次只下传一层
{
ll mid=(l+r)>>1;
Add(ls(x),l,mid,tag[x]);
Add(rs(x),mid+1,r,tag[x]);
tag[x]=0;//清除懒标记
}
inline void update(ll x,ll nl,ll nr,ll l,ll r,ll k)//拆分区间，本质上是分块 nl nr 是需要修改的区间
{
if(nl<=l&&r<=nr)
{
ans[x]+=k*(r-l+1);
tag[x]+=k;
return;
}
push_down(x,l,r);
ll mid=(l+r)>>1;
if(nl<=mid)update(ls(x),nl,nr,l, mid ,k);
if(nr >mid)update(rs(x),nl,nr,mid+1,r,k);
push_up(x);
}
inline ll query(ll x,ll q_x,ll q_y,ll l,ll r)//询问
{
ll res=0;
if(q_x<=l&&r<=q_y) return ans[x];
ll mid=(l+r)>>1;
push_down(x,l,r);//没有完全包含的话需要先下传懒标记
if(q_x<=mid) res+=query(ls(x),q_x,q_y,l, mid );
if(q_y >mid) res+=query(rs(x),q_x,q_y,mid+1,r);
return res;
}
int main ()
{
ll op,nl,nr,k,qx,qy;
n=Read();m=Read();
for(ll i=1;i<=n;i++) a[i]=Read();
build(1,1,n);
for(ll i=1;i<=m;i++)
{
op=Read();
switch(op)
{
case 1:
{
nl=Read();nr=Read();k=Read();
update(1,nl,nr,1,n,k);
break;
}
case 2:
{
qx=Read();qy=Read();
printf("%lld\n",query(1,qx,qy,1,n));
break;
}
default:break;
}
}
return 0;
支持区间乘法
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 100005
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,mod,num[MAXN<<2],tag_p[MAXN<<2],tag_m[MAXN<<2],sum[MAXN<<2];
inline ll Read()
{
int s=0,k=1;
char c=getchar();
while(c!='-'&&(c>'9'||c<'0')) c=getchar();
if(c=='-'){k=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){s=(s<<3)+(s<<1)+(c-'0');c=getchar();}
return s*k;
}
inline ll ls(ll x){return x<<1;}
inline ll rs(ll x){return x<<1|1;}
inline void push_up(ll x)
{
sum[x]=(sum[ls(x)]+sum[rs(x)])%mod;
}
inline void build(ll x,ll l,ll r)
{
tag_p[x]=0;tag_m[x]=1;sum[x]=0;
if(l==r){sum[x]=num[l];return ;}
ll mid= (l+r)>>1 ;
build(ls(x),l,mid);build(rs(x),mid+1,r);
push_up(x);
}
inline void modify(ll x,ll l,ll r,ll m_k,ll p_k)
{
sum[x]=(m_k*sum[x]+(r-l+1)*p_k)%mod;
tag_p[x]=(tag_p[x]*m_k+p_k)%mod;
tag_m[x]=(tag_m[x]*m_k)%mod;
}
inline void push_down(ll x,ll l,ll r)
{
ll mid =(l+r)>>1;
modify(ls(x),l,mid,tag_m[x],tag_p[x]);
modify(rs(x),mid+1,r,tag_m[x],tag_p[x]);
tag_p[x]=0;tag_m[x]=1;
}
inline void update_p(ll x,ll l,ll r,ll stdl,ll stdr,ll k)
{
if(l>stdr || r<stdl) return ;
if(l>=stdl && r<=stdr)
{
tag_p[x]=(tag_p[x]+k)%mod;
sum[x]=(sum[x]+((r-l+1)*k)%mod)%mod;
return ;
}
ll mid =(l+r)>>1;
push_down(x,l,r);
update_p(ls(x),l, mid ,stdl,stdr,k);
update_p(rs(x),mid+1,r,stdl,stdr,k);
push_up(x);
}
inline void update_m(ll x,ll l,ll r,ll stdl,ll stdr,ll k)
{
if(l>stdr || r<stdl) return ;
if(l>=stdl && r<=stdr)
{
tag_p[x]=(tag_p[x]*k)%mod;tag_m[x]=(tag_m[x]*k)%mod;
sum[x]=(sum[x]*k)%mod;
return ;
}
ll mid = (l+r)>>1;
push_down(x,l,r);
update_m(ls(x),l, mid ,stdl,stdr,k);
update_m(rs(x),mid+1,r,stdl,stdr,k);
push_up(x);
}
inline ll query(ll x,ll l,ll r,ll stdl,ll stdr)
{
if(r<stdl || l>stdr) return 0;
ll res=0;
if(l>=stdl && r<=stdr) return sum[x];
ll mid=(l+r)>>1;
push_down(x,l,r);
res+=query(ls(x),l, mid ,stdl,stdr);
res+=query(rs(x),mid+1,r,stdl,stdr);
return res%mod;
}
int main ()
{
n=Read();m=Read();mod=Read();
for(ll i=1;i<=n;i++) num[i]=Read();
build(1,1,n);
ll op,x,y,k;
for(ll i=1;i<=m;i++)
{
op=Read();
switch(op)
{
case 1:{
x=Read();y=Read();k=Read();
update_m(1,1,n,x,y,k);
break;
}
case 2:{
x=Read();y=Read();k=Read();
update_p(1,1,n,x,y,k);
break;
}
case 3:{
x=Read();y=Read();
printf("%lld\n",query(1,1,n,x,y)%mod);
break;
}
default: break;
}
}
return 0;
}
