JOI 2018 Final

T1：注意到 \(i,i+1\) 间的间隔如果选上会增加 \(a_{i+1}-a_i-1\) 的时间，然后消耗一根火柴。那不取最大的 \(k-1\) 个即可。（\(-1\) 是因为一开始用了一根。）

T2：按 \(A\) 排序，算 \(B\) 的前缀和 \(S\)，选一个区间 \([l,r]\) 显然比不是区间更优，代价 \(S_r-A_r-(S_l-A_{l+1})\)，一个变量记录前缀最小即可。\(\mathcal O(n\log n)\)。瓶颈在排序。

T3：显然的做法是两个团子有重叠就连边，肯定是二分图，跑二分图最大独立集即可。过不去。观察到其实没多少团子会有重叠，因为他限制给的比较强，就三种情况:

RGW    R      R
G     RGW     G
W      W    RGW

然后有一个博特的观察：\(\tt R,G,W\) 都在同一条斜线上。你挑一个出来枚举每条斜线跑线性 dp 就行。\(\mathcal O(nm)\)。具体实现我选择以 \(\tt R\) 为基点，\(f(i,0/1/2,0/1/2)\) 分别记录前面两个位置 不选/选横行/选竖行 的最大独立集大小。转移比较简单。

T4：一开始看这题没啥头绪，瞎猜了一个 \(S\rightsquigarrow T,U\rightsquigarrow V\) 的最短路至多有一段重叠。然后反证一下是对的，感觉牛大了，后来发现这题因为边权会变 \(0\) 所以比较显然。想了个 shaber 贪心写不动，看题解。考虑这种题目的经典做法：分层图。分 \(4\) 层，假设选了 \(P,Q\) 两个端点：\(1,4\) 层跑 \(U\rightsquigarrow P,Q\rightsquigarrow T\) 的最短路，中间两层要分别建好 \(S\rightsquigarrow T\) 最短路的正反图，边权都是 \(0\)，表示走了这一段 \(0\) 边。\(\mathcal O((n+m)\log (n+m))\)，会带一个 \(4\) 的常数，问题不大。

T5：太人类智慧了。很神奇吧，鸽笼原理！

上来没思路啊！这三个状态我咋压 FWT，肯定要容斥个什么锤子东西然后像 LNR2 D1T3 那样压成两个，这能写？看题解喽。

我们有三种暴力思路，假设 \(\tt 0,1,?\) 的个数是 \(a,b,c\)：

1. 枚举 \(\tt ?\) 的状态，直接加，最暴力的方法，单次 \(\mathcal O(2^c)\)。
2. 对 \(\tt 0\) 容斥，先把 \(\tt 0\) 全换成 \(\tt ?\)，再钦定 \(S\) 位置是 \(1\)，容斥系数 \((-1)^{|S|}\)，其余部分高维前缀和卷超集。\(\mathcal O(2^a)\)。
3. 对 \(\tt 1\) 容斥，类似。\(\mathcal O(2^b)\)。

然后最好玩的一步，取 \(a,b,c\) 最小的那个对应的方案，根据鸽笼原理 \(\min(a,b,c)\le \frac{n}{3}\)，那么复杂度 \(\mathcal O(q2^{\frac{n}{3}}+2^nn)\)。这么牛！！！