算法竞赛中useful总结

一个技巧结论解决一个题系列

根号分治

• 对某下标权值做修改
• 询问 $\mod x = y$ 的所有下标权值和
• 操作数小于 $sqrt(n)$ 用数组存答案，每次修改是 $\sqrt(n)$ 查询 $O(1)$， 否则直接 $\sqrt(n)$ 暴力查询，$O(1)$ 修改

CF1207 F

求解序列权值为等差数列的前缀和解法。

• 例如公差为 $1$ ，则结果为 $\Sigma_{i=l}^r a_i*(r-i+1) = \Sigma_{i=l}^r (i * a_i) + (1-l) * \Sigma_{i=l}^r a_i$ 。
• 维护两个前缀和解决， $i*a_i$ 和 $a_i$

洛谷 P6216 回文匹配

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求解序列的 $n^2$ 个子区间最小值之和。

• 定义状态 f[i] 表示前缀 $i$ 的所有后缀区间的最小值之和。
• 运用于后缀数组中即求 height[] 数组所有区间的最小值加和
• 考虑 height[i] 与 height[i-1] 的关系：
  • 如果 height[i] >= height[i - 1]，f[i] 能取到 f[i - 1] 的所有值
  • 反之，height[i] 不能取到 f[i - 1] 的值，要往前继续找 小于等于 height[i] 的下标。
  • 上点可以用单调栈来维护左边第一个小于 height[i] 的下标。

洛谷 P4248 [AHOI2013]差异

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求解数字串子区间表示数字z是 $X$ 的倍数的子区间数目

• 结论：$n \mod X \equiv 0$ 则 $10^k * n \mod X \equiv 0$
• 如果 $X$ 模 5 或者 模 2 都不等于 0，直接做前缀计数即可。
• 否则分类讨论即可 （字符串末尾为 5,0 / 0,2,4,6,8)

ABC158-E 讨论模5和模2
ABC164-D 直接计数

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DP 转移类似杨辉三角，可以用组合数优化

• 形如 $dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1]$， 求 $dp[n][m]$

• 设从 $(i,j)$ 出发，可以看做在 $n-i$ 步往下走中选择 $m-j$ 往右走。

• 这题需要挖掉 $i,j$ 相等的点。

CF1629 F2. Game on Sum (Hard Version)

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竞赛图经典结论

• 缩点后，DAG是一条“链”状，拓扑序唯一。
• 拓扑序在前的SCC的任意一节点的入度严格小于拓扑序在后的SCC的任意一节点入度，故
  • 所有节点按照入度和从小到大排序后，同一个SCC的节点一定是连续的
• 若一个竞赛图按照入度从小到大排序，仅有 $i=n$ 满足前 $i$ 的入度和为 $i*(i-1)/2$，则这个竞赛图缩点后只有一个SCC。

CF1498 E.Two Houses

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最小字符串选取次数，组成目标串结论

• 给定 $s,t$ 串，从 $s$ 中选取可以重叠的子串，最小选取次数组成 $t$ 串。
• 结论：匹配到了 $t$ 串的第 $i$ 位，往后匹配最长的距离不会使结果变差。

CF615C Running Track

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y^x $\geq$ y-x

• 利用结论转换数对 $y\%x=y\;xor\;$ 转换为 $y-x=y\;xor\;x$
• 然后进行数位 dp，找出数对满足二进制位数相同，最高位都为 1，对于每个数位 $bit_y\geq bit_x$ 。
• 求解方法不是常规数位dp。设计状态 $dp[pos][upy][downy][upx][downx]$ 记录 x 和 y 是否达到上下界。

Atcoder-ABC138F

一个公式解决一个题系列

组合数公式 $\Sigma_{i=0}^n{C_n^i * i} = n*2^{n-1}$

ABC 154 F

一些题目的思考方向

构造题询问操作次数，可能是根据某种性质然后暴力求解

• 递增序列，最高位长度不超过 3 的序列是有限的 $n\leq 100$

CF1457D

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字符串压缩，连续相同的子串压成同一个

• 考虑 KMP、区间DP。
• 例如 KMP 优化区间DP

UVA11022

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有特殊的边，可以尝试用虚拟点来优化边数

洛谷 P2403 [SDOI2010]所驼门王的宝藏

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没有出度为零的点，没有入度为零的点且不可继续缩点的图一定为强连通图

洛谷 P2746 [USACO5.3]校园网Network of Schools

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在图中，在每个点有操作，在每个点有不同的状态，转移有不同，考虑分层图 / 拆点

• 将每个点可以分到若干个状态。

• 点上的操作，是同点不同层的连接，边的转移是不同点可能不同层之间的转移

ABC164-E 拆点最短路

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每次操作值域至少乘 2(x) 倍，可以有暴力对数做法

• 查询序列中是否存在 $s[i]=2 * s[i - 1]$，输出下标。

​ CF992E

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查找连续序列和另一连续序列，对应位置加和相等，可以转化为差分数组上匹配问题。

• 设差分数组为 $d_i=a_{i+1}-a_i$ ，那么只要 $|L-1|$ 的差分数组匹配，特殊搞一下第一位元素，就找到了答案。
• 具体可以用 SA 来做。

洛谷P7769 丑国传说 · 大师选徒

卡常大师之玄学优化

倍增LCA，反转两维，在 $n$ 较大时极为有用

P2375 [NOI2014] 动物园

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本文作者：Roshin
本文链接：https://www.cnblogs.com/Roshin/p/trick_summary.html
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