《算法竞赛进阶指南》笔记
0x30 数学知识
0x33 同余
概念与定理
定义: 如果\(a\%m = b\%m\)，则 \(a\) 与 \(b\) 模 \(m\) 同余, \(m\) 为正整数，记作 \(a\equiv b\pmod m\)
同余类: 对于 \(\forall a \subset [0, m-1]\) ,集合 \({a+km}(k\subset Z)\) 的所有模 \(m\) 同余，余数都是 \(a\)。该集合就是一个模 \(m\) 的同余类，记为 \(\bar{a}\)。
完全剩余系: 模 \(m\) 的同余类一共有 \(m\) 个，分别为 \(\bar{1},\bar{2},\dots,\overline{m-1}\) ,是一个完全剩余系。
简化剩余系: \(1～m\) 中与 \(m\) 互质的数代表的同余类共有\(\varphi(m)\) 个，它们构成 \(m\) 的简化剩余系，例如，模 \(10\) 的简化剩余系为 \({\bar{1}, \bar{3}, \bar{7}, \bar{9}}\) 。( \(\varphi(n)\) 大小为小于 \(n\) 的所有与 \(n\) 互质的正整数个数)
若 \(a, b(1 ≤ a,b ≤ m)\) 与 \(m\) 互质， 则 \(a*b\) 与 \(m\) 也互质，也能属于 \(m\) 的简化剩余系。
费马小定理: 若 \(p\) 是质数，则对于任意整数 \(a\),有 \(a^p\equiv a\pmod p\)。
欧拉定理: 若正整数 \(a,n\) 互质，则 \(a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n\)，其中 \(\varphi(n)\) 为欧拉函数。
（证明略）
其中，若 \(p\) 是一个质数，则 \(\varphi(p) = p - 1\)。
欧拉定理的推论: 若正整数 \(a,n\) 互质，则对于任意正整数 \(b\),有 \(a^b\equiv a^{b\mod \varphi(n)}\pmod n\)。
对答案取模 \(p\) 的应用技巧:
- 面对 \(a+b,a-b,a*b\) 这种算式，先对 \(a,b\) 分别对 \(p\) 取模。
- 面对乘法算式, 根据欧拉定理的推论，先将底数对 \(p\) 取模$、质数对 \(\varphi(p)\) 取模，再计算乘方。
- 特别地，当 \(a,n\) 不一定互质且 \(b>\varphi(n)\) 时，有 \(a^b\equiv a^{b\mod \varphi(n) + \varphi(n)}\pmod n\)，即意味着，即便底数 \(a\) 与 模数 \(n\) 不互质，也能把指数的规模给缩小。 （指数循环节证明）
例题The Luckiest Number
此题由欧拉函数引出一个推理:
- 满足 \(a^x\equiv1\pmod n\) 的最小的 \(x\), \(x_0\) 是 \(\varphi(n)\) 的约数。
此题启发点：
- \(x\) 个 \(8\) 连起来的数可以写作 \(8(10^x-1)/9\)，题意是求最小的 \(x\)，满足 \(L\mid 8(10^x -1)\)。设 \(d=gcd(L,8)\)，然后推导运用引理。
扩展欧几里得算法\((exgcd)\)
定理及概念
\(Bezout\) 定理:对于任意整数 \(a,b\) ,存在一对整数 \(x,y\), 满足 \(ax+by=gcd(a,b)\)。
乘法逆元
概念
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若整数 \(b, m\) 互质，并且 \(b\mid a\), 则存在一个整数 \(x\), 使得 \(a/b\equiv a*x\pmod m\)。称 \(x\) 为 \(b\) 的模 \(m\) 乘法逆元，记作 \(b^{-1}(mod\;m)\)。
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\(\because a/b\equiv a*b^{-1}\equiv a/b*b*b^{-1}\pmod m\), \(\therefore b*b^{-1}\equiv 1\pmod m\)
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如果 \(m\) 是质数（之后用 \(p\) 代表 \(m\) )，并且 \(b\lt p\) ,根据费马小定理，\(b^{p-1}\equiv 1\pmod p\), 即 \(b*b^{p-2}\equiv 1\pmod p\)。因此，当模数 \(p\) 为质数时，\(b^{p-2}\) 即为 \(b\) 的乘法逆元。
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如果保证 \(b,m\) 互质，那么乘法逆元可以通过求解同余方程 \(b*x\equiv 1\pmod m\) 得到。
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有了乘法逆元，在计数类问题遇到 \(a/b\) 这样的除法算式，也可以先把 \(a,b\) 各自对模数 \(p\) 取模，再计算 \(a*b^{-1}\mod p\) 作为最终的结果。当然，前提是必须保证 \(b,p\) 互质（当 \(p\) 是质数时，等价于 \(b\) 不是 \(p\) 的倍数）
例题 Sumdiv
这道题lyd老师的解法和yxc老师的解法各有不同，lyd老师的解法用到了乘法逆元，
依据等比数列求和分母是否为模数9901的倍数划分两种情况，yxc老师的解法则更偏向于推导。
解题思路
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求 \(A^B\) 的所有约数之和，对 \(A\) 分解质因数为 \(p_1^{c_1}*p_2^{c_2}*\cdots*p_n^{c_n}\)，则 \(A^B\) 的分解质因数为 \(p_1^{c_1*B}*p_2^{c_2*B}*\cdots*p_n^{c_n*B}\)。
-
故 \(A^B\) 的约数之和为 \((1 + p_1 + p_1^2 +\cdots +p_1^{B*c_1})*(1+p_2+p_2^2+\cdots +p_2^{B*c_2})*\cdots*(1+p_n+p_n^2+\cdots+p_n^{B*c_n})\)
-
对于上述式子单个括号而言，和为 \((p_i^{B*c_i + 1} - 1) / (p_i - 1)\) (等比数列求和)，
求这个和模 \(mod\) 转换为 \(a*b^{-1}\mod 9901\) 形式。
1. 当 \(p_i - 1\) 不为 \(9901\) 的倍数, 可以直接转换为其乘法逆元 \(inv\), 用 \(inv\) 代替除以 \((p_i - 1)\)。
2. 当 \(p_i - 1\) 为 \(9901\) 的倍数，乘法逆元不存在，但是 \(p_i\mod 9901 = 1\)， 所以 \(1+p_i+p_i^2+\cdots+p_i^{B*c_i}\equiv B*c_i+1\pmod 1\)
总结
- 还是乘法逆元最后一点说到的，有了乘法逆元，在计数类问题遇到 \(a/b\) 这样的除法算式， 可以对 \(a,b\) 各自取模，再计算 \(a*b^{-1}\mod p\)，
尝试用乘法逆元 \(b^{-1}\mod 1\) 替代除以 \(b\)。（尤其是 \(b\) 是一个质数时）
线性同余方程
概念
定义: 给定整数 \(a,b,m\)，求一个整数 \(x\) 满足 \(a*x\mod b\pmod m\)，或者给出无解。因为未知数的指数为 \(1\)，所以我们称之为一次同余方程，线性同余方程。
转换: \(a*x\equiv b\pmod m\) 等价于 \(a*x-b\) 是 \(m\) 的倍数，设为 \(-y\) 倍，则有 \(a*x+m*y=b\)。
有解情况: 当且仅当 \(gcd(a,m)\mid b\) 存在。
求解: 先用欧几里得算法求出一组 \(x_0, y_0\)， 满足 \(a*x_0 + m*y_0=gcd(a,m)\)，然后 \(x=x_0*b/gcd(a,m)\) 就是原线性同余方程的一个解。
通解: 所有模 \(m/gcd(a.m)\) 与 \(x\) 同余的整数。
例题
题意: 求关于 \(x\) 的同余方程 \(a*x\equiv 1\pmod b\) 的最小正整数解。输入数据保证一定有解
解题思路
- 方程有解当且仅当 \(gcd(a,m)\mid 1 \;即\;gcd(a, b) = 1\)，方程改写为 \(a*x + b*y=1\)
- 求出方程与一组特解 \(x_0,y_0\) ，通解为所有模 \(b\) 与 \(x_0\) 同余的整数。通过取模操作将解范围移动到 \(1～b\) 之间，得到我们想要的解
中国剩余定理
定理
设 \(m_1,m_2,\cdots,m_n\) 是两两互质的整数， \(m=\prod_{i=1}^nm_i, M_i=m/m_i\), \(t_i\) 是线性同余方程
\(M_it_i\equiv 1\pmod m_i\) 的一个解(\(M_i\) 的乘法逆元)。对于任意 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\), 方程组
有整数解，解为 \(x=\Sigma_{i=1}^na_iM_it_i\)。
作用: 使得我们很容易解出模数两两互质的线性同余方程组的一个特解，通解为 \(x+km(k\subset Z)\)，求最小的非负整数解，\(x\) 对 \(m\) 取模即可。
高次同余方程
0x34 矩阵乘法
0x35 高斯消元与线性空间
高斯消元
线性空间
0x36 组合计数
基本概念
加法原理: 完成一件事有 \(n\) 类方法，其中第 \(i\) 类方法包括 \(a_i\) 种不同的方法，且方法之间相互独立，则完成这件事共有 \(a_1+a_2+\ldots+a_n\) 种不同方法。
乘法原理: 完成一件事要 \(n\) 个步骤，其中第 \(i\) 个步骤有 \(a_i\) 种不同的方法，方法、步骤之间相互独立,则完成这件事共有 \(a_1*a_2*\cdots*a_n\) 种不同方法。
排列数: 从 \(n\) 个不同元素中依次取出 \(m\) 个元素排成一列，产生的不同排列的数量为：
组合数: 从 \(n\) 个不同的元素中取出 \(m\) 个组成一个集合（无顺序），产生的不同集合数量为：
组合数性质:
- \(C_n^m=C_n^{n-m}\)
- \(C_n^m = C_{n-1}^m + C_{n-1}^{m-1}\)
- \(C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^m=2^n\)
