CF题目心得&总结

CF思维题心得&总结

created: 10/18/2021

updated: 10/20/2021 11/27/2021

目录

• CF思维题心得&总结
  • 1583B Omkar and Heavenly Tree
    • 题意
    • 思路点
    • 赛中想到的
    • Solution
  • 1594C Make Them Equal
  • 题意
  • 思路点
    • 赛中想到的
    • Solution
  • 1593D2 Hall of Same
    • 题意
    • 思路点
  • 赛中想到的
  • Solution
  • 1593B Make it Divisible by 25
    • 题意
    • 思路点
    • 赛中
    • Solution
  • 1614C Divan and bitwise operations
    • 题意
    • 思路点
    • 赛中
    • Solution

1583B Omkar and Heavenly Tree

题意

​ t组数据，n个点，m条限制，每条限制输入a、b、c，要求建立的树在a和c之间只有一条路径并且b不在这条路径上。

​ 答案输出树的每条边相邻两点。

思路点

​ 通过观察数据范围m < n，得出一定有一个点没有被限制，然后以这个点为中心连一个树就可以，输出每一条边。

赛中想到的

​ 以一个点为中心连边，每次将不同的点塞在b的两侧，达到了第一层，正解在第n层

Solution

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<map>
using namespace std;

// 从点和边的数据范围中观察出技巧
int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        int n, m;
        scanf("%d%d", &n, &m);
        map<int, int> mp;
        for(int i = 0; i < m; i++){
            int a, b, c;
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            mp[b] ++;
        }
        int center = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            if(!mp.count(i)){
                center = i;
                break;
            }
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            if(center == i)
                continue;
            printf("%d %d\n", i, center);
        }
    }

    return 0;
}

---

1594C Make Them Equal

题意

​ $t$组数据，输入长度为$n$的字符串$s$和一个字符$c$，可以进行一个操作，对于$1≤x≤n$,可以将不能整除$x$的$i(1≤i≤n)$,所在的下标字符替换成$c$，问最少经过多少次操作可以使$s$每个字符都是$c$？

思路点

• 由整除出发，
  • 对于$x=n$而言，$1≤i≤n-1$都可以被替换。
  • 对于$x=n-1而言$，$i=n$可以被替换。
• 因此最多需要2次操作就可以将$s$替换成想要的字符串。
• 对于做0次操作，遍历数组就行。
• 对于做1次操作，当数组中$\exists i<n$，$i$及$i$的倍数下标位置的字符都是$c$的话，只需要一次操作就可以把$s$都替换成$c$，输出$i$的下标。
• 对于做2次操作，就是$\nexists i<n$，$i$及$i$的倍数下标位置的字符都是$c$，输出$n-1$和$n$。

赛中想到的

​ 上述的第一点想到了，但是忽略了做1次操作的做法，也是这道题的核心，由第1点衍生出，$i$可以替换不是它倍数的下标位置（其实就是题意)。我太蠢了

Solution

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        int n;
        char c;
        string s;
        cin >> n >> c;
        cin >> s;
        bool flag = true;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            if(s[i] != c){
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if(flag){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        bool f = false;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            flag = true;
            for(int j = i; j <= n; j += i){
                if(s[j - 1] != c){
                    flag = false;
                    break;
                }
            }
            if(flag){
                f = true;
                printf("1\n%d\n", i);
                break;
            }
        }
        if(!f){     // 1-n-1不存在能代替所有字符的位置
            printf("2\n%d %d\n", n - 1, n);
        }
    }
    return 0;
}

---

1593D2 Hall of Same

题意

​ D1的加强版，赛中过了，这里就不再单独将D1列出来。D1题意是输入一个数组 $a(-1e6≤a_i≤1e6) $，$n$个元素$(4≤n≤40,n为偶数)$求出一个最大的整数 $k$，对每个元素减去若干个 $k$ 之后，$a$中所有元素相同。

​ 此题（D2）的题意与D1大致相同，但求一个最大的 $k$，使得数组中至少一半的元素能够相同。

思路点

• 两道题答案所包含的元素组成的子数组中，设最小值为 $v$，不难发现，其他元素与$v$的差值（设为$d$ )一定都对$\%k$ 同余。（应该这么表示吧?）
• 由上一点可知，$k$ 一定是所有 $d$ 的最大公约数。
• D1可以求出最小元素 $v$，再求其他元素相应的 $d$，D2需要观察数据范围，采用暴力枚举所有元素为 $v$，再筛选出其他满足条件的 $d≥0$，存取所有 $d$ 的约数，找出大于等于 $\frac{n}{2}$ 的最大的那个。

赛中想到的

​ 所有 $d\%k$ 同余想到了，还是没深入思考到 $k$ 一定是所有 $d$ 的最大公约数。

Solution

#include<iostream>
#include<set>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        int n;
        scanf("%d", &n);
        int a[45];
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);
        int ans = -1;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            int v = a[i];
            vector<int> nums;
            int same = 0;
            for(int j = 1; j <= n; j++){
                int d = a[j] - v;
                if(d == 0) same++;
                if(d > 0) nums.push_back(d);
            }
            if(same >= n / 2){
                ans = INT_MAX;
                continue;
            }
            map<int, int> s;
            for(int j = 0; j < nums.size(); j++){
                int & d = nums[j];
                for(int g = 1; g <= d / g; g++){
                    if(d % g == 0){
                        s[g]++;
                        if(d / g != g)
                        s[d / g]++;
                    }
                }
            }
            for(auto t: s){
                if(t.second >= n / 2 - same){
                    ans = max(ans, t.first);
                }
            }
        }
        if(ans == INT_MAX)
            ans = -1;
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

---

1593B Make it Divisible by 25

题意

​ 多测，输入数字 $n(n ≤ 1e18)$，每次可以对 $n$ 进行操作，删去一位数字，使 $n$ 可以整除 $25$， 求最少的操作次数 $ans ≥ 0$，数据保证一定有解。

思路点

• 一个数可以被 $25$ 整除，其后个位和十位可以是 $00、25、50、75$ 这四种情况，根据个位为 $5$ 或 $0$，分类讨论就可以了(这场ACD1E都做了，B居然没写)

赛中

​ 脑子糊了

Solution

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        string s;
        cin >> s;
        int n = s.size();
        // 25 75
        int ans1 = 0;
        // 50 00
        int ans2 = 0;
        bool flag = false;
        for(int i = s.size() - 1; i >= 0; i--){
            if(s[i] != '5')
                ans1++;
            else{
                for(int j = i - 1; j >= 0; j--){
                    if(s[j] == '2' || s[j] == '7'){
                        flag = true;
                        break;
                    }
                    else
                        ans1++;
                }
            }
            if(flag)
                break;
        }
        flag = false;
        for(int i = s.size() - 1; i >= 0; i--){
            if(s[i] != '0')
                ans2++;
            else{
                for(int j = i - 1; j >= 0; j--){
                    if(s[j] == '0' || s[j] == '5'){
                        flag = true;
                        break;
                    }
                    else
                        ans2++;
                }
            }
            if(flag)
                break;
        }
        printf("%d\n", min(ans1, ans2));
    }

    return 0;
}

1614C Divan and bitwise operations

题意

求出未知数组的所有子序列的 $XOR$ 和，输入子序列开始位置和结束位置以及子序列的 $OR$ 和，且保证输入包含数组每个元素。

思路点

结论题，答案为 $ans^{2^n - 1}$， $ans$ 为数组元素 $OR$ 的和，

• 所有子序列的 $XOR$ 和，先由 $XOR$ 的性质，考虑单个位，在子序列中，这个位是 $1$ 的元素个数是偶数，那么这个位上子序列的 $XOR$ 和为 $0$，反之要将这个位的结果算入答案中。

• 将整个数组分为该位为 $1$ 的集合 $A$， 和为 $0$ 的集合 $B$，那么由上点可知，想选出答案，就要在 $A$ 中选出奇数个元素，在 $B$ 中选取的方案总和为 $2^{|B|}$ 个，在 $A$ 中选奇数个数，无论 $|A|$ 是奇数还是偶数，选取的方案数为 $2^{|A|-1} = C_{|A|}^{1} + C_{|A|}^3{} + \cdots+C_{|A|}^{n-k}\;(|A| \% 2 = 0, k = 1)$。

• 因此，扩展到所有的位为 $1$ 的情况，答案就是$ans * 2^{|B|} \times 2^{|A| - 1} = ans * 2 ^{n - 1}$

赛中

求所有元素 $OR$ 和 $ans$ 是知道的。结论实在推不出来，还把题输出给读错了，以为还要输出原数组，难上加难。

Solution

#include<iostream>
#include<set>
typedef long long ll;
typedef std::pair<int, int> PII;
typedef std::pair<ll, ll> PLL;
#define pb push_back
using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;

template<class type>
type qmi(type a, type k, type p){
    type res = 1;
    while(k){
        if(k & 1)
            res = 1ll * res * a % p;
        a = 1ll * a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

int main(){
    int T;
    cin >> T;
    while(T--){
        int n, m;
        cin >> n >> m;
        ll res = 0;
        while(m--){
            int l, r, x;
            cin >> l >> r >> x;
            res |= x;
        }
        cout << 1ll * res * qmi<ll>(2, n - 1, mod) % mod << endl;
    }
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：Roshin
本文链接：https://www.cnblogs.com/Roshin/p/CodeforcesNotes.html
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