[笔记乱写]关于数论函数(关于卷积的一些证明+杜教筛)
数论GPBH，所以开坑
常见的数论函数
莫比乌斯函数$\mu$
1.定义：
- $\mu (1)=1$
- 若$d$没有平方因子，$\mu (d) = (-1)^k$，$k$为$d$的质因数个数
- 否则$\mu (d)=0$
2.性质：
- 对于任意正整数$n$，有$\sum \limits_{d|n}\mu (d)=[n=1]$。
- $\mu$为积性函数。
- $\sum \limits _{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}$
欧拉函数$\varphi $
1.定义：
- $\varphi (n)= \sum \limits _{i=1}^{n} [gcd(i,n)=1]$
2.性质：
- $\sum \limits _{d|n} \varphi (d)=n$
- $\varphi(n) = n * \prod (1 - \frac{1}{p_i})$
- $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod {m}$
- 对于$n=p^k$，有$\varphi(n) = (p - 1) * p^{k - 1}$
- 积性函数
约数个数$d()$
1.定义：
- RT
2.性质：积性函数
约数和$\sigma ()$
1.定义：
- RT
2.性质：积性函数
元函数$\epsilon$
1.定义：
- $\epsilon(n)=[n=1]$
2.性质：
- 对于任意积性函数$f$，有$f*\epsilon=f$。
- 积性函数
单位函数$I()$
1.定义：
- $I(n)$恒为1。
2.性质：
- 积性函数
恒等函数$id()$
1.定义：
- $id(n)=n$
2.性质：
- 积性函数
狄利克雷卷积
- 定义：对于两个数论函数$f$和$g$，它们的狄利克雷卷积为$(f*g)(n)=\sum \limits_{d|n} f(d) \cdot g(\frac{n}{d})$。
- 性质：狄利克雷卷积满足交换律、结合律和分配律。即：$f*g=g*f$ $(f*g)*h=f*(g*h)$ $(f+g)*h=f*h+g*h$
狄利克雷卷积的一些应用：
1.证明莫比乌斯反演：
假设我们已知：$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$
考虑利用数论函数将它化成卷积的形式：$F=f*I$
两边卷上$\mu$，得到：
$F*\mu=f*I*\mu$
结合律？
$...=f*(I*\mu)$
回忆一下$\mu$的性质：
$\sum \limits _{d|n} \mu (d)= [n=1]$
也可以写成：
$I* \mu = \epsilon$
那么有$...=f*\epsilon=f$
把它重新写成普遍形式：$f=F*\mu \rightarrow f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\cdot F(\frac{n}{d})$
2.证明$\frac{\varphi(n)}{n}=\sum \limits _{d|n}\frac{\mu(d)}{d}$
还记得$\varphi$的性质嘛？
$\sum \limits _{d|n} \varphi (d)=n$
表示成卷积的形式就是$\varphi * I = id$
跟上一个证明类似，如果两边都卷上$\mu$：
$\varphi * I * \mu = id * \mu$
$\varphi * \epsilon =id* \mu $
$\varphi = id * \mu \rightarrow \sum \limits _{d|n} \mu (d) \cdot \frac{n}{d}$
两边同时除以$n$即得证。
杜教筛
终于到了这个大坑……
杜教筛解决的是要求在低于线性时间内求积性函数前缀和的问题。
假设我们要求 $S(n)=\sum \limits _{i=1}^n f(i)$
那么首先构造两个积性函数$g$和$h$，满足$h=f*g$。
显然有：
$\sum \limits _{i=1}^{n}h(i)=\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{d|i}g(d)\cdot f(\frac{i}{d})\\\to =\sum \limits_{d=1}^{n}g(d)\cdot\sum \limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f({i})$
停一下。这一步可能会看起来比较懵逼，其实就是把原来先枚举每个数再枚举它的因数，变成了枚举因数并考虑$n$的范围内有多少个数包含它。
我们继续：
$\sum \limits _{i=1}^{n}h(i)=\sum \limits _{d=1}^{n}g(d)\cdot S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)$
拆出第一项：
$\sum \limits _{i=1}^{n}h(i)=g(1)\cdot S(n)+\sum \limits _{d=2}^{n}g(d)\cdot S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)$
$g(1)S(n)=\sum \limits _{i=1}^{n}h(i)-\sum \limits _{d=2}^{n}g(d)\cdot S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)$
到了这步，如果你能快速求出$h(i)$的前缀和，就可以通过对后面那项进行整除分块来求出$S(n)$。时间复杂度为$O(n^{\frac{2}{3} })$。
比如我们要求的$f$是$\mu$，那根据$\mu*I=\epsilon$可以得到：
$S(n)=1-\sum \limits _{d=2}^{n}S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)$
筛$\varphi$也是同理，利用$\varphi*I=id$即可。(其实是我懒得写了所以就同理啦QAQ)
(然而代码实现还不是很熟练……先咕了)
To Be Continued...
