[CSP-S模拟测试86]题解
好久没有写整套题的题解了呢……主要是这两天考试题愈发神仙 实在是超出了垃圾博主的能力范围啊QAQ
A.异或
不难想到，如果我们得到了$[L,R]$中每一位上0和1的个数，那么答案即为$2 \times \sum \limits _{i=0} ^{\log R} num0[i]\times num1[i] \times 2^i$
所以可以得到一个暴力的思路，枚举$[L,R]$中的每个数按位统计。
现在瓶颈在于区间每一位的0/1个数的统计。如果我们把连续的数写成二进制表示，可以发现一些规律：
000000000000 //0 000000000001 //1 000000000010 //2 000000000011 //3 000000000100 //4 000000000101 //5 000000000110 //6 000000000111 //7 000000001000 //8 000000001001 //... 000000001010 000000001011 000000001100 000000001101 000000001110 000000001111
纵向对比。显然，对于一段连续的整数，它们每一位上的0/1分布是有循环节的，并且循环节内部前一半是0，后一半是1，且循环节长度为$2^{i+1}$。
所以我们可以轻松地求出从0到某个数这段区间里每一位的0/1 个数，相当与一个前缀和，$sum[R]-sum[L-1]$一下就好了。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
int T,L,R;
int bit[35][3];
void work()
{
int L=read(),R=read();
for(int i=0;i<31;i++)
{
bit[i][0]=bit[i][1]=0;
int cir=(R+1)/(1<<i+1);
bit[i][0]+=cir*(1<<i);
bit[i][1]+=cir*(1<<i);
int rest=(R+1)%(1<<i+1);
bit[i][0]+=min(rest,1<<i);
bit[i][1]+=max(0,rest-(1<<i));
cir=(L)/(1<<i+1);
bit[i][0]-=cir*(1<<i);
bit[i][1]-=cir*(1<<i);
rest=(L)%(1<<i+1);
bit[i][0]-=min(rest,1<<i);
bit[i][1]-=max(0,rest-(1<<i));
}
ll ans=0;
for(int i=0;i<31;i++)
(ans+=1LL*bit[i][0]*bit[i][1]%mod*(1LL<<i)%mod)%=mod;
printf("%lld\n",ans*2%mod);
}
int main()
{
T=read();
while(T--)work();
return 0;
}
B.取石子
首先，最优策略下，先手必败的下一步一定是先手必胜。
可以用类似于筛法(或者说dp也一样)得到所有先手必败的局面，从而得到答案。直接转移是$O(n^4)$的。
不难想到，给定$x,y$之后，使得$(x,y,z)$为先手必败态的$z$只有一个。
然后就可以$O(n^3)$了。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=605,base=300;
bool win[base+5][base+5][base+5];
bool f[4][N][N],g[4][N][N],a[N][N];
int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
int T,x,y,z;
bool judge(int i,int j,int k)
{
if(a[j-i+base][k-j+base])return 1;
if(f[0][j][k])return 1;
if(f[1][i][k])return 1;
if(f[2][i][j])return 1;
if(g[0][i][k-j+base])return 1;
if(g[1][j][k-i+base])return 1;
if(g[2][k][j-i+base])return 1;
return 0;
}
void ini()
{
for(int i=0;i<=base;i++)
for(int j=0;j<=base;j++)
for(int k=0;k<=base;k++)
{
if(judge(i,j,k))win[i][j][k]=1;
else
{
a[j-i+base][k-j+base]=1;
f[0][j][k]=f[1][i][k]=f[2][i][j]=1;
g[0][i][k-j+base]=g[1][j][k-i+base]=g[2][k][j-i+base]=1;
}
//cout<<i<<' '<<j<<' '<<k<<' '<<win[i][j][k]<<endl;
}
}
void work()
{
x=read();y=read();z=read();
if(win[x][y][z])puts("Yes");
else puts("No");
}
int main()
{
//freopen("my.out","w",stdout);
ini();
T=read();
while(T--)work();
return 0;
}
C.优化
性质1：绝对值可以直接拆，不会使答案变差。
性质2：除了开头和结尾，中间几段都紧密相连显然最优。
先把绝对值扔了，然后把每个$s_i$单独拿出来，考虑它的贡献。
除了$s_1,s_k$之外，每个$s$产生的系数只能为0或2或-2。
进一步观察还可以发现，两个系数为2的$s$之间，必然存在一段系数为-2的$s$。
系数为0的可以自由穿插在2和-2之间，所以我们可以把阶段划分成4种。最高点(2)，最低点(-2)，上升段(-2~2)，下降段(2~-2)。
那么就可以转移了，看似要$O(n^2 k)$或者$O(n^3 k)$，但考虑到每一段内部每个数的系数都是一样的，所以直接对于每个点判断它在不在这里断段就好了。
$a[]$中可能有负数，所以初始化需要$-inf$。
$O(nk)$。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=3e4+5;
int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
int n,a[N],K;
int dp[N][202][5];
int main()
{
n=read();K=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i]=read();
memset(dp,-0x3f,sizeof(dp));
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=0;j<4;j++)
dp[i][0][j]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=min(K,i);j++)
{
int p=(j==1||j==K)?1:2;
dp[i][j][0]=max(dp[i-1][j][0],dp[i-1][j-1][2])+p*a[i];
dp[i][j][1]=max(dp[i-1][j][1],dp[i-1][j-1][3])-p*a[i];
dp[i][j][2]=max(dp[i-1][j][2],dp[i][j][1]);
if(j!=1&&j!=K)dp[i][j][2]=max(dp[i][j][2],dp[i-1][j-1][2]);
dp[i][j][3]=max(dp[i-1][j][3],dp[i][j][0]);
if(j!=1&&j!=K)dp[i][j][3]=max(dp[i][j][3],dp[i-1][j-1][3]);
/*cout<<i<<' '<<j<<endl;
for(int k=0;k<4;k++)cout<<dp[i][j][k]<<' ';
puts(" ");*/
}
}
int ans=max(dp[n][K][2],dp[n][K][3]);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
