[NOIP模拟15]题解

A.建设城市(city)

 这容斥题多难啊你们是怎么考场切掉的啊

首先可以想一下，如果没有k的限制，这题怎么做？

相信你们肯定能看出来是挡板法裸题：m个物品分给n个人，每个人至少一个。

就是$C_{m-1}^{n-1}$呗。(如果每个人可以没有就是$C_{n+m-1}^{n-1}$)

但是就这玩意我考场都打了半个小时的表才推出来

上面这个柿子在这道题里可以表示为“至少有0个城市不满足条件的方案数”

显然范围太大了，里面不合法的情况要容斥掉。那么至少有一个的呢？

先选出一个城市，然后在建设队里选出k个先分给已经选出来的那个，再把剩下的建设队分给所有城市，每个城市至少一个。这样一定可以保证之前选出的那个不合法。所以方案数就是$C_n^1\times C_{m-k-1}^{n-1}$

之后同理，至少有i个城市不满足条件的方案数就是$C_n^i\times C_{m-i*k-1}^{n-1}$，枚举i逐步容斥奇减偶加即可。

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define re register
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int N=1e7+5;
ll n,m,K,fac[N];
ll qpow(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll res=1;
    a=a%mod;
    while(b)
    {
        if(b&1)res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
ll C(ll x,ll y)
{
    if(x<y)return 0;
    return fac[x]*qpow(fac[y],mod-2,mod)%mod*qpow(fac[x-y],mod-2,mod)%mod;
}
ll lucas(ll x,ll y)
{
    if(!y)return 1;
    return C(x%mod,y%mod)*lucas(x/mod,y/mod)%mod;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&K);
    if(n==m)
    {
        puts("1");
        return 0;
    }
    if(n>m)
    {
        puts("0");
        return 0;
    }
    fac[0]=1;
    for(re int i=1;i<=m;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*1LL*i%mod;
    ll ans=0;
    for(re int i=0;i<=n;i++)
    {
        if(m-i*K-1<=0)break;
        ll res=lucas(n,1LL*i)*lucas(m-1LL*i*K-1LL,n-1LL)%mod;
        if(!(i&1))ans+=res,ans%=mod;
        else ans-=res,ans=(ans+mod)%mod;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

 

B.轰炸行动

理解题意要正确，只要两个城市联通就不能一起炸，不管直接还是间接联通。

毕竟考场上像我一样理解对题意还不会做的垃圾太少了

如果没有环，显然答案就是图上最长链长度。因为一条链上每次一定只能炸一个点，不在一条链上的点可以并列炸。

有环也一样，直接缩点跑拓扑求最长链即可。注意此时更新每条链长度不是+1，而是+scc's size。

(现在想起来，我当时似乎也理解错题了，不过不是联通性。当时以为城市被炸了一次就废了原来连着它的边就断了，我真是yy能手23333)

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
const int N=1000005;
int n,m;
int to[N<<1],nxt[N<<1],head[N],tot,ans[N];
void add(int x,int y)
{
    to[++tot]=y;
    nxt[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
int dfn[N],low[N],st[N],vis[N],top,ind,scc,size[N],bel[N],deg[N],maxx[N];
vector<int> g[N];
void tarjan(int x)
{
    dfn[x]=low[x]=++ind;
    vis[x]=1;st[++top]=x;
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        int y=to[i];
        if(!dfn[y])tarjan(y),low[x]=min(low[x],low[y]);
        else if(vis[y])low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    }
    if(dfn[x]==low[x])
    {
        scc++;int now=0;
        do
        {
            now=st[top--];
            vis[now]=0;
            bel[now]=scc;
            size[scc]++;
        }
        while(now!=x);
    }
}
queue<int> q;
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        add(x,y);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i])tarjan(i);
    for(int x=1;x<=n;x++)
        for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
            if(bel[to[i]]!=bel[x])
                g[bel[x]].push_back(bel[to[i]]),deg[bel[to[i]]]++;
    for(int i=1;i<=scc;i++)
        if(!deg[i])q.push(i),ans[i]=size[i];
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();int sz=g[x].size();
        for(int i=0;i<sz;i++)
        {
            int y=g[x][i];
            ans[y]=max(ans[y],ans[x]+size[y]);
            if(!(--deg[y]))q.push(y);
        }
    }
    cout<<*max_element(ans+1,ans+1+scc)<<endl;
    return 0;
}

 

C.石头剪刀布

这么好的题给我做真是焚琴煮鹤，弃了弃了。与其抄std还不如等撑过联赛再说。