[NOI2016]区间 题解(决策单调性+线段树优化)

4653: [Noi2016]区间

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Description

在数轴上有 n个闭区间 [l1,r1],[l2,r2],...,[ln,rn]。现在要从中选出 m 个区间，使得这 m个区间共同包含至少一个位置。换句话说，就是使得存在一个 x，使得对于每一个被选中的区间 [li,ri]，都有 li≤x≤ri。

对于一个合法的选取方案，它的花费为被选中的最长区间长度减去被选中的最短区间长度。区间 [li,ri] 的长度定义为 ri−li，即等于它的右端点的值减去左端点的值。

求所有合法方案中最小的花费。如果不存在合法的方案，输出 −1。

Input

第一行包含两个正整数 n,m用空格隔开，意义如上文所述。保证 1≤m≤n

接下来 n行，每行表示一个区间，包含用空格隔开的两个整数 li 和 ri 为该区间的左右端点。

N<=500000,M<=200000,0≤li≤ri≤10^9

Output

只有一行，包含一个正整数，即最小花费。

Sample Input

6 3
3 5
1 2
3 4
2 2
1 5
1 4

Sample Output

2

 

 

思路很神的乱搞题。

如果不管复杂度，我们可以考虑先将所有区间离散化，之后按照区间长度排序。然后从左往右扫，以每个区间为起始区间，尝试逐个加入之后的区间。怎么加入呢？用一个数组表示覆盖层数，将它左端点到右端点之间的所有点+1，表示多覆盖了一层。当有一个点被覆盖到m层时，统计一下目前的最靠右区间与起始区间的长度差更新答案。实际上，我们并不管具体选了哪些区间，只管能更新答案的最大长度的和最小长度的两个，这样只要保证选择合法即可，不用讨论具体选择。

(博主写到这里，冥思苦想40min，还是没证出来它的正确性，所以咕了)

(之后线段树优化一下区间加法就好了)

不要脸的博主又回来了。之前一直想不明白的原因在于纠结它会不会因为想找最优而漏解 导致输出-1的情况出错，这实际上是不可能的。如果你从左往右扫到n都没有更新答案，就说明确实没有方案可以满足一个点被覆盖m次，因为即使是单调指针 这么全扫一遍也能够考虑到所有情况。

至于线段树优化，其实就是用一个区间加法和全局最大值查询(所以没必要写区间查询的函数)。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ls(k) k<<1
#define rs(k) k<<1|1
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
const int N=1000005;
int n,m,c[N<<1],tot,top,ans=0x3f3f3f3f;
struct node
{
    int l,r,len; 
}q[N];
int cmp(node x,node y)
{
    return x.len<y.len;
}
int maxx[N<<2],lz[N<<2];
void down(int k,int l,int r)
{
    if(l==r)
    {
        lz[k]=0;
        return ;
    }
    lz[ls(k)]+=lz[k];lz[rs(k)]+=lz[k];
    maxx[ls(k)]+=lz[k];maxx[rs(k)]+=lz[k];
    lz[k]=0;
}
void add(int k,int l,int r,int L,int R,int val)
{
    if(L<=l&&R>=r)
    {
        maxx[k]+=val;
        lz[k]+=val;
        return ;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(lz[k])down(k,l,r);
    if(L<=mid)add(ls(k),l,mid,L,R,val);
    if(R>mid)add(rs(k),mid+1,r,L,R,val);
    maxx[k]=max(maxx[ls(k)],maxx[rs(k)]);
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        q[i].l=read(),q[i].r=read(),q[i].len=q[i].r-q[i].l,c[++tot]=q[i].l,c[++tot]=q[i].r;
    sort(c+1,c+tot+1);
    tot=unique(c+1,c+tot+1)-c-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        q[i].l=lower_bound(c+1,c+tot+1,q[i].l)-c,q[i].r=lower_bound(c+1,c+tot+1,q[i].r)-c;
    sort(q+1,q+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(maxx[1]<m&&top<n)
            top++,add(1,1,tot,q[top].l,q[top].r,1);
        if(maxx[1]==m)ans=min(ans,q[top].len-q[i].len);
        add(1,1,tot,q[i].l,q[i].r,-1);
    }
    if(ans==0x3f3f3f3f)puts("-1");
    else cout<<ans<<endl;
    return 0;
}