[ZJOI2011]看电影(组合数学/打表+高精)
Description
到了难得的假期,小白班上组织大家去看电影。但由于假期里看电影的人太多,很难做到让全班看上同一场电影,最后大家在一个偏僻的小胡同里找到了一家电影院。但这家电影院分配座位的方式很特殊,具体方式如下: 1. 电影院的座位共有K个,并被标号为1…K,每个人买完票后会被随机指定一个座位,具体来说是从1…K中等可能的随机选取一个正整数,设其为L。 2. 如果编号L的座位是空位,则这个座位就分配给此人,否则将L加一,继续前面的步骤。 3. 如果在第二步中不存在编号L的座位,则该人只能站着看电影,即所谓的站票。小白班上共有N人(包括小白自己),作为数学爱好者,小白想知道全班都能够有座位的概率是多少。
Input
输入文件第一行有且只有一个正整数T,表示测试数据的组数。 第2~T+1行,每行两个正整数N,K,用单个空格隔开,其含义同题目描述。
Output
输出文件共包含T行。第i行应包含两个用空格隔开的整数A,B,表示输入文件中的第i组数据的答案为A/B。(注意,这里要求将答案化为既约分数)
Sample Input
1 1
2 1
2 2
Sample Output
1 1
0 1
3 4
【数据范围】
对于100%的数据 T<=50,N,K<=200
其实这题正解是打表找规律
首先我们一定是把所有方案数作为分母,
显然是$k^n$
另外当$n>k$时输出0 1即可
之后的思路就比较神仙
我们把链转成环,并在最后加一个座位
这样根据题目给定的规则,由于$n<k$,每个人最后一定可以坐下
如果有人走到座位$k$都不能坐下,他就会在加的那个座位坐下
那么一个合法方案 即加的座位没有人坐的情况
这时候就可以开始列柿子了
$n$个人,每次选$k+1$中的一个坐下(反正最终一定能坐下,不用想的太复杂),$(k+1)^n$
且因为环的性质(哪都能断,可能重复),每种排列算了k+1次
所以这部分是$\frac{(k+1)^n}{k+1}=(k+1)^{n-1}$
且有$k-n+1$个空着的
我们可以选择从这些位置断开重新伸展成链,使第$k+1$个座无意义化
$ANS=\frac{(k+1)^{n-1}(k-n+1)}{k^n}$
没模法显然要高精对吧
(高精乘低精就搞定了)
这道题还要求输出约分后的结果别告诉我你要高精除
分母累乘的时候一直求gcd一直约就行了
(快速幂什么的都去死吧)
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> using namespace std; int T,n,k,num1[10005],num2[10005],n1; void mult(int x,int a[]) { int k=0; for(int i=1;i<=a[0];i++) { int tmp=a[i]*x+k; a[i]=tmp%10; k=tmp/10; } while(k)a[++a[0]]=k%10,k/=10; } int gcd(int x,int y) { if(!y)return x; return gcd(y,x%y); } void work() { scanf("%d%d",&n,&k); memset(num1,0,sizeof(num1)); memset(num2,0,sizeof(num2)); num1[0]=num1[1]=num2[0]=num2[1]=1; if(n>k) { puts("0 1"); return ; } n1=k-n+1; for(int i=1;i<=n-1;i++) mult(k+1,num1); for(int i=1;i<=n;i++) { int now=k,GCD=gcd(k,n1); if(GCD!=1) { now/=GCD; n1/=GCD; } mult(now,num2); } mult(n1,num1); for(int i=num1[0];i;i--) printf("%d",num1[i]); printf(" "); for(int i=num2[0];i;i--) printf("%d",num2[i]); puts(" "); } int main() { scanf("%d",&T); while(T--)work(); return 0; }