[bzoj3462]DZY Loves Math II (美妙数学+背包dp)

Description

Input

第一行，两个正整数 S 和 q，q 表示询问数量。
接下来 q 行，每行一个正整数 n。

Output

输出共 q 行，分别为每个询问的答案。

Sample Input

30 3
9
29
1000000000000000000

Sample Output

0
9
450000036

HINT

感谢the Loser协助更正数据

 

对于100%的数据，2<=S<=2*10^6,1<=n<=10^18,1<=q<=10^5

 

这个题面让人很费解啊

其实题意还是挺简洁的

首先对S分解质因数

如果有相同的因数出现了多次，那么$lcm(p_1,p_2,p_3...p_k)=S$一定不能被满足

此时直接特判输出Q个0即可

(这10分这么好拿还想什么正解hhh)

接下来要做的，是取一定数量的每个$p_i$，使他们的和为$n$

假设$n=\sum{p_i*c_i}$,即$p_i$对应取$c_i$个

由$p_i$是S的因数，可得$p_i*c_i$一定可以表示成$X*S+Y*p_i$

将$p_i$除过去，得到$c_i=X*\frac{S}{p_i}+Y$

那么就可以把$c_i$分成+号前后两部分，不同的$X$和不同的$Y$都会导致方案不同

设前半部分为$a_i$,后半部分为$b_i$

将$c_i\ mod\ \frac{S}{p_i}$得到后半部分，这部分的方案数用多重背包解决

则背包大小不超过$k*S$(每个物品不超过$\frac{S}{p_i}$),

之后我们考虑$a_i$部分，分配每一个$X$等价于将$\frac{S}{p_i}$个物品放到k个盒子内(可空)，

利用隔板法得到方案数为$C_{\frac{S}{p_i}+k-1}^{k-1}$

直接打表求k范围内的阶乘逆元，暴力求排列再$*(m-1)$的阶乘逆元即可

$a_i\ b_i$的贡献是相对独立的，所以可以直接相乘

但这样可能包含了几倍的S，

而通过枚举一个倍数m( $p_1*b_1+p_2*b_2+...+p_k*b_k=n-m*S$ )即可得到结果

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1000005;
const ll mod=1e9+7;
int S,Q,tot=0,sumf;
int fact[9];
int sz,f[15000001],g[15000001],mu[2050000],pr[2050000];
bool v[15000001];
ll n,side,inv[9],fac[9];
void dp()
{
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=sz;i++)
    {
        for(int j=0;j<fact[i];j++)
        {
            ll tmp=0;
            for(int k=j;k<=side;k+=fact[i])
            {
                tmp=(f[k]+tmp)%mod;
                if(k>=S)tmp=(tmp-f[k-S])%mod;
                g[k]=tmp;
            }
        }
        for(ll j=0;j<=side;j++)f[j]=g[j];
    }
}
ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll res=1;
    for( ;b;b>>=1,a=a*a%mod)
        if(b&1)res=res*a%mod;
    return res;
}
ll C(ll x,ll y)
{
    ll res=1;
    for(ll i=x;i>=x-y+1;i--)res=res%mod*(i%mod)%mod;
    res=res%mod*(inv[y]%mod)%mod;
    return res;
}
void prime()
{
    mu[1]=1;int num=0;
    for(int i=2;i<=S;i++)
    {
        if(!v[i])pr[++num]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=num;j++)
        {
            if(i*pr[j]>S)break;
            v[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j])mu[i*pr[j]]=-mu[i];
            else
            {
                mu[i*pr[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=num;i++)
        if(S%pr[i]==0)fact[++sz]=pr[i],sumf+=pr[i];
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&S,&Q);
    prime();
    if(!mu[S])
    {
        while(Q--)puts("0");
        return 0;
    }
    side=S*sz;
    inv[0]=fac[1]=1;
    for(ll i=2;i<=sz;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[sz]=qpow(fac[sz],mod-2);
    for(int i=sz-1;i;i--)
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    dp();
    while(Q--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        if(n<sumf)
        {
            puts("0");
            continue ;
        }
        n-=sumf;
        ll tm=n/S,ans=0;
        for(ll i=0;i<=sz;i++)
        {
            if(n-i*S<0)break;
            ll now=i*S+n%S;
            if(now>side)continue;
            ans=(ans+(ll)f[now]*C(tm-i+sz-1,sz-1))%mod;    
        }
        printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
    }
    return 0;
}