[SDOI2010]地精部落 题解

Description

传说很久以前,大地上居住着一种神秘的生物:地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说,一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段,每段有一个独一无二的高度 Hi,其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高,则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉,其他都有两段(即左边和右边)。 类似地,如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低,则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒,酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸,地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物,他们在每座山峰上都可以设立瞭望台,并轮 流担当瞭望工作,以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一,只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道,长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i,使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大,你只对它 除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行,两个正整数 N, P。

Output

仅含一行,一个非负整数,表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

3
 
 
太神仙了
读完题急切地想写暴搜
之后改记忆化搜索 尝试使用bitset
看一眼范围发现根本不可做
 
对着题解瞪了20min感觉要死了
首先这题是要求长度为n的波动序列的方案数%p对吧
关于波动序列的性质:
引理一:一个抖动序列的连续子序列(≈一个数列的子串?)仍然是抖动序列。
引理二:若一个抖动排列中$x$与$x+1$不相邻,那么交换$x,x+1$ 序列仍满足抖动。
引理三:若使一个抖动排列中大于等于$x$的元素全部$+1$,序列仍满足抖动。
引理四:一个$[1,x]$的抖动序列一定可以对应到$[y-x+1,y]$的一个抖动序列。
其实都挺显然的……就不证了……
规定f[i][j]的含义为在[1,i]的排列中第一个数大于第二个数时的方案数
根据引理4进行交换 第一个数为峰和为谷的情况相同 最终答案为$\sum_{i=1}^{n}{f[n][i]}*2$
第一个数已经确定,考虑第二个数
1.不是j-1。
根据引理2,我们可以交换j与j-1且序列性质不变(仍抖动),方案数为$f[i][j-1]$.
2.是j-1。

(因为博主不会了所以就……)

 

转移方程$f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j+1]$

思维量和代码量的反差简直……

或许神题都是这样的吧?

UPD:Lrefrain 10min切掉了这道题。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=4500;
int n,p,f[3][N],ans;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    if(n==1)
    {
        cout<<1%p<<endl;
        return 0;
    }
    f[0][2]=1;int now=0;
    for(int i=3;i<=n;i++)
    {
        now=i&1;
        for(int j=2;j<=i;j++)
            f[now][j]=(f[now][j-1]+f[now^1][i-j+1])%p;
    }
        
    for(int i=1;i<=n;i++)
        (ans+=f[now][i])%=p;
    cout<<ans*2%p<<endl;
    return 0;
}

 

posted @ 2019-06-30 17:32  Rorschach_XR  阅读(179)  评论(1编辑  收藏  举报
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