[bzoj4899]记忆的轮廓 题解(毒瘤概率dp)
题目背景
四次死亡轮回后，昴终于到达了贤者之塔，当代贤者夏乌拉一见到昴就上前抱住了昴“师傅！你终于回来了！你有着和师傅一样的魔女的余香，肯定是师傅”。
众所周知，大贤者是嫉妒魔女沙提拉的老公，400年前与神龙、剑圣一起封印魔女因子暴走的莎缇拉。在魔女茶会的时候，莎缇拉也表示过对昴浓浓的爱意，昴便是被莎缇拉召唤来异世界的。
而贤者之塔中的资料与试炼，似乎都指向同一种可能性……记忆的轮廓，逐渐显形……
题目描述
通往贤者之塔的路上，有许多的危机。
我们可以把这个地形看做是一颗树，根节点编号为1，目标节点编号为n，其中1-n的简单路径上，编号依次递增，在[1,n]中，一共有n个节点。
我们把编号在[1,n]的叫做正确节点，[n+1,m]的叫做错误节点。一个叶子，如果是正确节点则为正确叶子，否则称为错误叶子。
莎缇拉要帮助昴到达贤者之塔，因此现在面临着存档位置设定的问题。为了让昴成长为英雄，因此一共只有p次存档的机会，其中1和n必须存档。被莎缇拉设置为要存档的节点称为存档位置。
当然不能让昴陷入死循环，所以存档只能在正确节点上进行，而且同一个节点不能存多次档。因为通往贤者之塔的路上有影响的瘴气，因此莎缇拉假设昴每次位于树上一个节点时，都会等概率选择一个儿子走下去。每当走到一个错误叶子时，再走一步就会读档。
具体的，每次昴到达一个新的存档位置，存档点便会更新为这个位置（假如现在的存档点是i，现在走到了一个存档位置j>i，那么存档点便会更新为j）。读档的意思就是回到当前存档点。
初始昴位于1，当昴走到正确叶子n时，便结束了路程。莎缇拉想知道，最优情况下，昴结束路程的期望步数是多少？
输入格式
第一行一个正整数T表示数据组数。
接下来每组数据，首先读入三个正整数n,m,p。
接下来m-n行，描述树上所有的非正确边（正确边即连接两个正确节点的边），用两个正整数j，k表示j与k之间有一条连边，j和k可以均为错误节点，也可以一个为正确节点另一个为错误节点。数据保证j是k的父亲。
输出格式
T行每行一个实数表示每组数据的答案。请保留四位小数。
样例输入
1
3 7 2
1 4
2 5
3 6
3 7
样例输出
9.000
数据范围及约定
50%，n=p
70%，50<=p<=n<=500
100%，50<=p<=n<=700，m<=1500，T<=5
数据保证每个除了n的正确节点均有至少2个儿子，至多3个儿子。
要是考试的时候题面上有50%n=p就先写这个了
首先考虑n=p的做法：
设g[i]表示对于一个错误节点i，期望走多少步会读档
则$g[i]=\frac{1}{du[i]\cdot{\sum_{(j为i的儿子 )} { g[j]}}}+1$
另外预处理
$sum[i]=\sum{g[j]}$,j为i的错误儿子
那么对于正确节点i走到n的期望步数f[i],有
$f[i]=du[i]+f[i+1]+sum[i]$
之后是对于普遍情况，比较暴力的转移做法
设f[i,j]表示当前存档点为i，还剩j次存档机会。
我们需要预处理一个step[i,j]，表示存档点为i，从i开始走到正确节点j的期望步数（中间不能存档）
那么显然有
$step[i][i]=0$
$step[i][j]=step[i][j-1]*du[j-1]+du[j-1]+sum[j-1]\ (i<j)$
预处理step的时间为n2
之后枚举存档点转移即可
复杂度O(n2p)
最后的正解
被博主鸽了hhh
“咦但是你A了这道题啊？”
呃是这样的
出题人最终给了三种正解
博主选择的是第二种
但是并不会证明它的正确性（因为真的很像qj测试点？）
其实就是设定一个距离，只在距离内转移dp数组
事实上，我觉得出题人在解释这种做法时给出的解释也很含糊
好像只是说了为什么step数组爆炸增长不会影响大局，没有给出指定距离内转移的合理性
所以大家还是直接点上面的链接看出题人讲解好了
博主有时间的话也会尝试使用另外两种做法A掉这道题的
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> using namespace std; inline int read() { int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } const int N=2005,dis=15; int n,m,p,T; int du[N],nxt[N],to[N],head[N],tot=0; double g[N],dp[N][N],step[N][N],sum[N]; bool v[N]; void add(int x,int y) { to[++tot]=y; nxt[tot]=head[x]; head[x]=tot; du[x]++; } void dfs(int x) { v[x]=1;g[x]=1; for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) { dfs(to[i]); g[x]+=(double)1/du[x]*g[to[i]]; } } void work() { n=read();m=read();p=read(); for(int i=1;i<=m;i++) head[i]=to[i]=nxt[i]=du[i]=v[i]=sum[i]=0; tot=0; for(int i=1;i<=m-n;i++) { int x=read(),y=read(); add(x,y); } for(int i=1;i<n;i++)du[i]++; for(int i=n+1;i<=m;i++) if(!v[i])dfs(i); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=head[i];j;j=nxt[j]) sum[i]+=g[to[j]]; //for(int i=1;i<=n;i++)printf("%lf\n",sum[i]); for(int i=1;i<=n;i++) { step[i][i]=0; for(int j=i+1;j<=n;j++) step[i][j]=(double)du[j-1]*step[i][j-1]+sum[j-1]+du[j-1]; } memset(dp,127,sizeof(dp)); dp[n][1]=0; for(int j=2;j<=p;j++) for(int i=1;i<=n;i++) for(int k=i+1;k<=n&&k-i<=dis;k++) dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+step[i][k]); printf("%.4lf\n",dp[1][p]); } int main() { T=read(); while(T--)work(); return 0; }
