最短路径算法----Dijkstra

最近上图论，学了单源最短路径的Dijkstra算法。

Dijkstra算法的核心思想是贪心策略+动态规划。

老师只字不提思想，硬分析过程还是有点@#$%的。

结果就是，原先我还挺懂的，听完就凌乱了。

 

在这里写一下吧

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参考资料:

Wikipedia：http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra's_algorithm

Nocow：http://www.nocow.cn/index.php/Dijkstra%E7%AE%97%E6%B3%95

CLRS

《算法设计与分析》

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算法流程：

在以下说明中，s为源，w[u,v]为点u和v之间的边的长度，结果保存在dis[]

初始化：源的距离dis[s]设为0，其他的点距离设为无穷大(实际程序里设成-1了)，同时把所有的点的状态设为没有扩展过。

循环n-1次：

1. 在没有扩展过的点中取一距离最小的点u，并将其状态设为已扩展。
2. 对于每个与u相邻的点v，执行Relax(u,v)，也就是说，如果dis[u]+map[u,v]<dis[v]，那么把dis[v]更新成更短的距离dis[u]+w[u,v]。此时到点v的最短路径上，前一个节点即为u。
3. 结束。此时对于任意的u，dis[u]就是s到u的距离。

wiki上有个很好的图，可以帮助理解算法过程：

测试数据来自清华的紫皮算法书，如下：

迭代过程如下：

迭代	S	U	dis[2]	dis[3]	dis[4]	dis[5]
初始	{1}	---	10	-1	30	100
1	{1,2}	2	10	60	30	100
2	{1,2,4}	4	10	50	30	90
3	{1,2,4,3}	3	10	50	30	60
4	{1,2,4,3,5}	5	10	50	30	60

看上面的两个图，基本就能把Dijkstra算法的具体过程了解清楚。

算法正确性证明可以看Wiki和CLRS。

程序如下（测试数据就是上面的，输出了6个结果）：

int dijk(int s, int e);函数返回从s到e的最短路。

#include <stdio.h>
#include <limits.h>
#include <string.h>

const int n = 6;
int map[n][n];

int dijk(int s, int e)
{
    int dis[n];
    int used[n] = {0};
    int min, next;
    memset(dis, 255, sizeof(dis));//把所有未更新的dis[]设置成-1

    dis[s] = 0;                    //从s开始

    for (int i=1; i<n; ++i)
    {
        min = INT_MAX;
        for (int j=1; j<n; ++j)
        {
            if (!used[j] && dis[j]!=-1 && dis[j]<min)
            {
                min = dis[j];
                next = j;
            }
        }
        if (min != INT_MAX)
        {
            used[next] = 1;
            for (int j=1; j<n; ++j)
            {
                if (!used[j] && map[next][j]!=-1 &&
                        (dis[j]>map[next][j]+dis[next] || dis[j]==-1))
                {
                    dis[j] = map[next][j] + dis[next];
                }
            }
        }
    }
    return dis[e];
}


int main()
{
    for (int i=1; i<n; ++i)
    {
        for (int j=1; j<n; ++j)
        {
            map[i][j] = -1;
        }
    }

    map[1][2] = 10;
    map[1][4] = 30;
    map[1][5] = 100;
    map[2][3] = 50;
    map[3][5] = 10;
    map[4][3] = 20;
    map[4][5] = 60;
　　
    printf("%d %d %d %d %d %d\n", dijk(1, 5), dijk(2, 3), dijk(1, 5), dijk(4, 5), dijk(1, 2), dijk(2, 4));


    return 0;
}