矩阵连乘问题

矩阵连乘是经典的DP问题。n个矩阵连乘会因为乘的次序问题导致效率差异。

这个问题中比较难想的是计算m[][]时的次序，必须保证计算m[i][j]查找m[i][k]和m[k+1][j]时这两个已经计算出来了。

这里是根据王晓东的算法书里的想法写的，他用的是Java，必须提醒的就是在用C++时一个蛋疼的数组越界问题。

int *p = new int[5];

此时p[5] = 10; 就是越界的，但C++为了效率上的考虑华丽地无视了这个越界，编译器并没有义务指出它。

更bt的是cout << p[5] << endl; 是正确的，能输出10。但这程序指不定什么时候就诡异得挂了。

所以n个矩阵连乘中开的数组最好干脆用vector<int>写。如果用new的话，要注意其实我们是要访问p[n],m[n][n],s[n][n]的，所以要开n+1的数组。看到网上的有些版本没有注意这点。

 

程序的测试数据为：

A1 30x35;  A2 35x15;  A3 15x5;  A4 5x10;  A5 10x20;  A6 20x25

#include <iostream>

using namespace std;

void matrixChain(int *p, int **m, int **s, int n) //p记录矩阵的行列，s记录从哪断开
{
    for (int i=1; i<=n; ++i)
    {
        m[i][i] = 0;
    }

    for (int r=2; r<=n; ++r)
    {
        for (int i=1; i<=n-r+1; ++i)
        {
            int j = r + i - 1;
            m[i][j] = m[i][i] + m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];
            s[i][j] = i;

            for (int k=i+1; k<j; ++k)
            {
                int temp = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
                if (temp < m[i][j])
                {
                    m[i][j] = temp;
                    s[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
}

void traceback(int **s, int i, int j) //输出A[i:j]的最优计算次序
{
    if(i == j)
    {
        cout << "A" <<i;
    }
    else if (i+1 == j)
    {
        cout << "(A"<< i << "A" << j <<")";
    }
    else
    {
        cout << "(";
        traceback(s, i, s[i][j]);
        traceback(s, s[i][j]+1, j);
        cout << ")";
    }
}

int main()
{

    int n = 6;
    int *p = new int[n+1];


    p[0]=30;
    p[1]=35;
    p[2]=15;
    p[3]=5;
    p[4]=10;
    p[5]=20;
    p[6]=25;


    int **m, **s;
    m = new int *[n+1];
    s = new int *[n+1];
    for(int i=0; i<=n; ++i)
    {
        m[i] = new int[n+1];
        s[i] = new int[n+1];
    }


    matrixChain(p, m, s, n);
    traceback(s, 1, n);

    for(int i=0; i<=n; ++i)
    {
        delete []m[i];
        m[i] = 0;
        delete []s[i];
        s[i] = 0;
    }
    delete []m;
    m = 0;
    delete []s;
    s = 0;
    delete []p;
    p = 0;

    return 0;
}

输出：