POJ 1062 昂贵的聘礼 【带限制的最短路/建模】

年轻的探险家来到了一个印第安部落里。在那里他和酋长的女儿相爱了，于是便向酋长去求亲。酋长要他用10000个金币作为聘礼才答应把女儿嫁给他。探险家拿不出这么多金币，便请求酋长降低要求。酋长说："嗯，如果你能够替我弄到大祭司的皮袄，我可以只要8000金币。如果你能够弄来他的水晶球，那么只要5000金币就行了。"探险家就跑到大祭司那里，向他要求皮袄或水晶球，大祭司要他用金币来换，或者替他弄来其他的东西，他可以降低价格。探险家于是又跑到其他地方，其他人也提出了类似的要求，或者直接用金币换，或者找到其他东西就可以降低价格。不过探险家没必要用多样东西去换一样东西，因为不会得到更低的价格。探险家现在很需要你的帮忙，让他用最少的金币娶到自己的心上人。另外他要告诉你的是，在这个部落里，等级观念十分森严。地位差距超过一定限制的两个人之间不会进行任何形式的直接接触，包括交易。他是一个外来人，所以可以不受这些限制。但是如果他和某个地位较低的人进行了交易，地位较高的的人不会再和他交易，他们认为这样等于是间接接触，反过来也一样。因此你需要在考虑所有的情况以后给他提供一个最好的方案。 
为了方便起见，我们把所有的物品从1开始进行编号，酋长的允诺也看作一个物品，并且编号总是1。每个物品都有对应的价格P，主人的地位等级L，以及一系列的替代品Ti和该替代品所对应的"优惠"Vi。如果两人地位等级差距超过了M，就不能"间接交易"。你必须根据这些数据来计算出探险家最少需要多少金币才能娶到酋长的女儿。 
Input
输入第一行是两个整数M，N（1 <= N <= 100），依次表示地位等级差距限制和物品的总数。接下来按照编号从小到大依次给出了N个物品的描述。每个物品的描述开头是三个非负整数P、L、X（X < N），依次表示该物品的价格、主人的地位等级和替代品总数。接下来X行每行包括两个整数T和V，分别表示替代品的编号和"优惠价格"。
Output
输出最少需要的金币数。
Sample Input
1 4
10000 3 2
2 8000
3 5000
1000 2 1
4 200
3000 2 1
4 200
50 2 0
Sample Output
5250

【题意建模】：

你想娶酋长的女儿，但酋长要求你给一定数额金钱的聘礼。除了金钱外，酋长也允许你用部落里其他人的某物品加上一点钱作为聘礼。而其他人的物品也可以通过指定的另外一些人的某物品加上一些金钱获得。部落里的每个人有一个等级。你的整个交易过程涉及的人的等级只能在一个限定的差值内。问你最少需要多少金钱才能娶到酋长女儿。假定每个人只有一个物品。

例：

最高最低等级差不超过1，共4个物品

酋长的女儿      等级3     要求现金10000元     或甲的物品+8000元     或乙的物品+5000元

甲的物品        等级2     要求现金1000元        或丙的物品+200元

乙的物品        等级2     要求现金3000元        或丙的物品+200元

丙的物品        等级2      要求现金50元

在这个例子中，最少花费方案是：买丙的东西（50）换乙的东西（+200）换酋长女儿（+5000）一共5250元。

 

 假设如果给这条路径加上一个附加条件的话，情况可能就有所变化了，要求最短路中的所有点的等级在一个区间内[a,b]，如果能够很好的给出这个区间的话，只要对图中的点进行上筛选即可了。

这个区间的确定显然不是随便的，那么就要根据一定的条件了，从题意中我们知道，最后所有的最短路都会汇集在1号点，也就是说1号点是所有最短路都存在的点，好了，这个条件很重要，这样我们就可以依照1号点来给定区间了，比如1号点等级为lev 5，那么也就是说在所有最短路的这些点都必须满足在[lev-M,lev+M]这个区间里面。好了，可能你会迫不及待将这个区间作为最后的区间，再想想，如果在这个区间内出现的两个点的他们之间的等级差超过了M值（这是存在的），显然，不符合题意了，所以这个区间还有继续缩小。其实只要稍微动动脑子，就可以找出这样的区间[lev-M,lev],[lev-M+1,lev+1],... ...,[lev,lev+M]，首先这些区间都满足大区间的条件，而且如果将这些区间的某个作为筛选条件的话，在这个区间内的任意两个点的等级都不会超过M值。

 此题的关键在于等级限制的处理，最好的办法是采用枚举，即假设酋长等级为5，等级限制为2，那么需要枚举等级从3~5,4~6,5~7  

 

筛选后对区间进行Dijkstra。并将结果比较替换当前最优解。直到枚举结束。

 

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<sstream>
#include<list>
#include<assert.h>
#include<bitset>
#include<numeric>
#define N 30001
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e3 + 20;
const int maxm = 1e6 + 10;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
struct node
{
    int v,w,nxt;
}e[N];

int head[N],tot=0,vis[N],dis[N],l[N];
int m,n,x,y,now;
int cost;
void init()
{
    tot=0;
    ms(head,-1);
    ms(vis,0);
    ms(dis,INF);
}

void add(int u,int v,int w)
{
    e[tot].v=v;
    e[tot].w=w;
    e[tot].nxt=head[u];
    head[u]=tot++;
}

int spfa(int s,int t)//上限和下限
{
    queue<int> q;
    ms(dis,INF);ms(vis,0);
    dis[0]=0; vis[0]=1;
    q.push(0);
    while(!q.empty())
    {
        int u = q.front(); q.pop(); vis[u]=0;
        for(int i=head[u]; i!=-1; i=e[i].nxt)
        {
            int v=e[i].v;
            //if(l[v]<s||l[v]>t) continue;//不满足等级在枚举的等级区间内
            if(l[v]>=s&&l[v]<=t && dis[v]>dis[u]+e[i].w)
            {
                dis[v]=dis[u]+e[i].w;
                if(!vis[v])
                {
                    vis[v]=1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return dis[1];  //因为一定要交易到1号点
}
void input()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&cost,&l[i],&x); //边权、等级、替换数
        add(0,i,cost); //超级源点0和所有的点相连
        while(x--)
        {
            int b,x;
            scanf("%d%d",&b,&x);
            add(b,i,x);
        }
    }
}
void work()
{
    int Min = INF;
    for(now=l[1]-m; now<=l[1]; now++) //枚举等级限制
        Min=min(Min, spfa(now,now+m));
    cout<<Min<<endl;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&m,&n))
    {
        init();
        input();
        work();
    }
    return 0;
}
/*
spfa:0MS
dis:16MS
*/

 

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<sstream>
#include<list>
#include<assert.h>
#include<bitset>
#include<numeric>
#define N 30001
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e3 + 20;
const int maxm = 1e6 + 10;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
int head[N],tot=0,vis[N],dis[N],l[N];
int m,n,x,y,now;
int cost;

struct node
{
    int v,w,nxt;
}e[N];
struct cmp
{
    bool operator()(int a,int b)
    {
        return dis[a]>dis[b];
    }
};

void init()
{
    tot=0;
    ms(head,-1);
    ms(vis,0);
    ms(dis,INF);
}

void add(int u,int v,int w)
{
    e[tot].v=v;
    e[tot].w=w;
    e[tot].nxt=head[u];
    head[u]=tot++;
}

int dij(int s,int t)
{
    priority_queue<int,vector<int>,cmp > q;
    ms(dis,INF);ms(vis,0);
    dis[0]=0; //vis[0]=1;
    q.push(0);
    while(!q.empty())
    {
        int u = q.top(); q.pop(); //vis[u]=0;
        for(int i=head[u]; i!=-1; i=e[i].nxt)
        {
            int v=e[i].v;
            //if(l[v]<s||l[v]>t) continue;//不满足等级在枚举的等级区间内
            if(l[v]>=s&&l[v]<=t && dis[v]>dis[u]+e[i].w)
            {
                dis[v]=dis[u]+e[i].w;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return dis[1];
}
void input()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&cost,&l[i],&x); //边权、等级、替换数
        add(0,i,cost); //超级源点0和所有的点相连
        while(x--)
        {
            int b,x;
            scanf("%d%d",&b,&x);
            add(b,i,x);
        }
    }
}
void work()
{
    int Min = INF;
    for(now=l[1]-m; now<=l[1]; now++) //枚举等级限制
        Min=min(Min, dij(now,now+m));
    cout<<Min<<endl;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&m,&n))
    {
        init();
        input();
        work();
    }
    return 0;
}