递推算法之平面分割问题总结

递推算法之平面分割问题总结
这是一类问题，首先由直线划分区域到折线划分区域，再延伸到封闭图形划分区域，最后在推广为平面划分空间的问题。

一、n条直线最多分平面问题
题目大致如:n条直线，最多可以把平面分为多少个区域。

   析:可能你以前就见过这题目，这充其量是一道初中的思考题。当有n-1条直线时，平面最多被分成了f（n-1）个区域。则第n条直线要是切成的区域数最多，就必须与每条直线相交且不能有同一交点。 这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+（n-2）个区域。

      故：f(n)=f(n-1)+n

                   =f(n-2)+(n-1)+n

                   ……

                   =f(1)+1+2+……+n

                   =n(n+1)/2+1

二、折线分平面（hdu2050）
根据直线分平面可知，由交点决定了射线和线段的条数，进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时，区域数为f（n-1）。为了使增加的区域最多，则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2（n-1）条线段相交。那么新增的线段数为4（n-1），射线数为2。但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。

    故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

                   =f(n-1)+4(n-1)+1

                  =f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2

                  ……

                  =f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)   

                  =2n^2-n+1

三、三角形划分区域（hdu1249）
解析：当n-1个三角形时，区域面积数为 f(n-1) 。

       要区域数最多，那么第n个三角形就必须与前n-1个三角形相交。
       则第n个三角形的一条边就被分割成 2*（n-1）-1条线段与两个半条的线段 ，
       即相当于2*（n-1）条线段。则第 n 个三角形被分割成 3*2*（n-1）条线段。
       则增加了 6*（n-1）个面。



        故：f(n)=6*(n-1)+f(n-1)

            f(n-1)=6*(n-2)+f(n-2)

                ........

            f(2)=6*1+f(1)

      因为，f(1)=2

      所以，f(n)=3*n*(n-1)+2

四、封闭曲线分平面问题
题目大致如设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

    析：当n-1个圆时，区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交，则第n个圆被分为2（n-1）段线段，增加了2（n-1）个区域。

          故： f(n)=f(n-1)+2(n-1)     

                          =f(1)+2+4+……+2(n-1)

                          =n^2-n+2

五、平面分割空间问题（hdu1290）
由二维的分割问题可知，平面分割与线之间的交点有关，即交点决定射线和线段的条数，从而决定新增的区域数。试想在三维中则是否与平面的交线有关呢？当有n-1个平面时，分割的空间数为f（n-1）。要有最多的空间数，则第n个平面需与前n-1个平面相交，且不能有共同的交线。即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g（n-1）个区域。（g（n）为（1）中的直线分平面的个数 ）此平面将原有的空间一分为二，则最多增加g（n-1）个空间。

     故：f=f(n-1)+g(n-1)     ps:g(n)=n(n+1)/2+1

                =f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)

                ……

               =f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)

              =2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）

              =(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1

             =(n^3+5n)/6+1