51nod 1101 换零钱 【完全背包变形/无限件可取】

1101 换零钱 

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 20 难度：3级算法题

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N元钱换为零钱，有多少不同的换法？币值包括1 2 5分，1 2 5角，1 2 5 10 20 50 100元。

 

例如：5分钱换为零钱，有以下4种换法：

1、5个1分

2、1个2分3个1分

3、2个2分1个1分

4、1个5分

(由于结果可能会很大，输出Mod 10^9 + 7的结果)

Input

输入1个数N，N = 100表示1元钱。(1 <= N <= 100000)

Output

输出Mod 10^9 + 7的结果

Input示例

5

Output示例

4

【代码】：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<iostream>
#include<stack>
#include<algorithm>
#define maxn 105
#define maxm 50005
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define MOD 1000000007
using namespace std;
/*
每件物品无穷多个!
它的实际意义：依次取出可用硬币集合中的每一种硬币，例如当前取出的硬币为3元硬币，设val(i)为凑成i元的方法数，则val(i)自然要增加val(i-3)，因为3元硬币的存在，所有能凑成(i-3)元的方法都可通过增加一枚3元硬币而凑成i元。
*/
int w[13]={1,2,5,10,20,50,100,200,500,1000,2000,5000,10000};
int v[7]={1,2,5,10,20,50};
int d[110000];

int main()
{
    int n,c;
    scanf("%d",&n);
    d[0]=1;
    for(int i=0;i<13;i++)
        for(int j=w[i];j<=n;j++)
            d[j]=(d[j]+d[j-w[i]])%MOD;
    printf("%d\n",d[n]);
}
/*
dp[i][j]:
1. 保持金额不变, 减少货币种数
2. 保持货币种数,减少金额大小
if(i>=j)    dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-j][j]
if(i<j)     dp[i][j] = dp[i][i];
对于能影响兑换种数多少存在2个变量,
第一个是货币种数,第二个是金额多少, 所以递归向着2个方面进行, 
1. 保持金额不变, 减少货币种数 
2. 保持货币种数,减少金额大小. 
所以形成了2叉树. 
这是离散的情况, 在微积分中我们也可以看到例子, 
对于有2个变量函数进行微分,做偏微分时,
先保持第一个变量,对第二个变量求导,
 再保持第二个变量,对第一个变量求导.


dp[i]（i为硬币的币值，即 1 <= i <= N） 中 当coins[j]（ 1 <= j <= 13）（放进去 ＋ 不放进去）两种场景的和
好比，coins[] = {1, 2, 5}   dp[2]有两种方案, 
dp[2][0] = dp[1][0] = 1; 
dp[2][1] = dp[0][2](直接选择一枚2分硬币的结果) + dp[1][0](2个1分硬币的结果) = 2 
dp[2][2] = 0 + dp[2][1] ＝ 2 （因为价值为5的硬币放不进去，所以只能选择不放）
PS: MOD = (10^9 + 7)  每步的结果都要MOD一下 >.<
*/