51nod 1051 最大子矩阵和 【最大子段和DP变形/降维】
【题目】：
一个M*N的矩阵，找到此矩阵的一个子矩阵，并且这个子矩阵的元素的和是最大的，输出这个最大的值。 例如：3*3的矩阵： -1 3 -1 2 -1 3 -3 1 2 和最大的子矩阵是： 3 -1 -1 3 1 2 Input 第1行：M和N，中间用空格隔开（2 <= M,N <= 500)。 第2 - N + 1行：矩阵中的元素，每行M个数，中间用空格隔开。(-10^9 <= M[i] <= 10^9) Output 输出和的最大值。如果所有数都是负数，就输出0。 Input示例 3 3 -1 3 -1 2 -1 3 -3 1 2 Output示例 7
【分析】：
在做这道题之前必须会最大子段和这一道题的基础，这也是动态规划中最简单的一道例题，而这道题是最大字段和的一个扩展。
例子： 0,2,7,2,-5最大的一个连续子序列之和。
分析：这五个数有这样几种和的组合：0；02；027；0272；……这样5！个数。
用数组索引来表示就是：0；0到1；0到2；0到3……1；1到2；……（这里是数组索引表示）
我们显然不能用多重循环把所有数都算出来，我们换一种角度思考，如果只有一个数字，那么最大的连续子序列数多少，还是以上面的例子为例，应该是0吧，那么现在有两个数字呢？有两种情况，一种是前面有一个数字的最大值（已求）+现在这个数字；另外一种情况是就是只有这个数字；然后算出来的最大值与只有一个数字的情况的最大值相比较；现在有三个数字，也有两种情况，一种是前面有前面两个数字的最大值+现在这个数字；或者就是只是这个数字；……
第一行：N代表这个N*N矩阵的维数
int max_sum(int n)
{
int i, sum = 0, max = INT_MIN;
for(i = 0; i < n; i++)
{ -------------------------------------------------------------------------------0
if(sum < 0)
sum = 0;
sum += a[i]; ---------------------------------------------------------1
if(sum > max)
max = sum;---------------------------------------------------------2
}
return max;
}
----0----代表蓝色部分【这个不用说循环】
----1----代表橙色部分【**下面说**】
----2----代表紫色部分
我们橙色的字；因为一共有两种情况，一种是自己本身，一种是前i-1项的最大值，我们换个思路想一下，假如第1个数（索引为0的数）为负数，那么下面前两个数的最大最一定是第二个数其本身，即第二次是把sum=0；sum+=a[1] 然后记录max值。。。实际上就是假如你前n个数是正的那么可以继续加上去，如果你前n个数是负的那么把值记录一下就好了。所以只要求前n项和和最大值就好了。
当然也有人是这样写的：
int MaxSum(int n,int *a)
{
int sum=0,b=0;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(b>0)
{
b+=a[i];
}
else
{
b=a[i];
}
if(b>sum)
{
sum = b;
}
}
return sum;
}
或者更加直白的话是这样写的，这样更加容易理解一些，看个人的编程习惯了：
int max_sum2(int n)
{
b[0]=a[0]; //数组b存放前n项的最大值
int maximal=b[0];
for(int i=1;i<n;i++)
{
b[i]=max(b[i-1]+a[i],a[i]); //STL
if(b[i]>maximal)
maximal=b[i];
}
return maximal;
}
下面写二维的矩阵这道题，我们首先要做的就是降维然后像上面一样做。
科幻小说《三体》中描绘了恢弘壮丽的“降维攻击”的场景：
“歌者”随手抛下了一张“二向箔”，整个银河系的三维空间奔腾汹涌地流入二向箔，塌缩成一个二维平面，三维结构被碾压在二维平面之上。同时，这一降维过程是全息的，所有的三维信息被保留在碾压后的二维空间里。这种致命的攻击令攻击者和被攻击者同归于尽，玉石俱焚，其结局黑暗得令人窒息。
我们知道，在线性空间的最大子段和，已有线性时间的DP算法。有没有可能，把二维的最大矩阵和转化为一维的最大子段和呢？
答案是肯定的，算法有着似三体描述的未来武器般的威力
对于一个子矩阵，有四个属性：起始行位置 i , 结束行位置 j, 起始列 x, 结束列 y
我们可以枚举i， j， 然后对后列进行降维压缩
再对降维后的一维数组进行最大子序列和动态规划就行了。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<queue> #include<iostream> #include<stack> #define maxn 505 #define maxm 50005 #define INF 0x3f3f3f3f #define ll long long using namespace std; int n,m; int a; int dp[maxn][maxn]; //int sum[maxn][maxn]; int main() { while(cin>>m>>n) { memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=m;j++){ scanf("%d",&a); dp[i][j]=dp[i-1][j]+a;////让dp存放第i行的前j项和 //其实我们用数学之美来看为什么要这样存放，你一维的时候存放的是一维的数据 //二维的时候再存放一维的数据就是错误的，二维的时候就应该存放二维的数据 //当然你也不要去存放前i行前j列之和，这个相比于前面的就是三维的数据了 //如果你算的是长方体的数据，这样应该是对的，那么我们的数组也应该是三维的了 } } //s数组是用来记录起点行到终点行的每一竖条的数值和的，ans是用来记录不同的子矩阵和的（需要相邻竖条相加）， int ans=0; for(int i=1;i<=n;i++){//这n行数有这样几种和的组合：0；02；027；0272；……这样n！个数。 //用数组索引来表示就是：0；0到1；0到2；0到3……1；1到2；……（这里是数组索引表示） for(int j=i;j<=n;j++){//前面两层循环是列循环，比如三列的话就是，1-2列，1-3列，2-3列 int sum=0; for(int k=1;k<=m;k++){ sum+=(dp[j][k]-dp[i-1][k]);//对i到j行矩阵进行降维操作 if(sum<0) sum=0; if(sum>ans) ans=sum; //ans=max(ans,sum); } } } printf("%d\n",ans); } return 0; }
