二项式定理与杨辉三角

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 6ab³ + b⁴

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

(a + b)⁶ = a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + a⁶

… …

(a + b)ⁿ = ?

 

在二项式 (a + b)ⁿ 中，每一单项式的次数和都等于n，把每一项的系数列出来，可以得到一个杨辉三角：三角形左边和右边的数字全都是1，而内部的每一个数字都是连接到它的上端的两个数字之和。内部的数字究竟还有其他什么特征？

 

n次幂对应的项数共有 n + 1 项，而且每一行的数字都是对称的。从外往内看，每一行顺数和倒数的第2个数字都是n，_nC₁ = _nC_n–1 = n

顺数和倒数的第3个数字都 _nC₂ = _nC_n–2

… …

 

所以杨辉三角又可以表示为以下形式

左边上的“1”实际是_nC₀，左边上的“1”实际是_nC_n，每一行的第k项的系数都是_nC_n–k+1。从左向右排列为：

 

用组合解释如下：(a + b)ⁿ就是n个 (a + b) 相乘，每个(a + b) 相乘时有两种选择，选a或b，而且每个(a + b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项。

把n个 (a + b) 中的所有的a相乘，得到aⁿ ；

把n个 (a + b) 中的 (n – 1) 个a与剩下的最后一个 (a + b) 中的b相乘，得到a^n–1b ；

把n个 (a + b) 中的 (n – 2) 个a与剩下的最后两个(a + b) 中的b相乘，得到a^n–2b² ；

… …

把n个 (a + b) 中的 (n – k) 个a与剩下的k个(a + b) 中的b相乘，得到a^n–kb^k ；

… …

把n个 (a + b) 中的所有的b相乘，得到bⁿ ；

a^n–kb^k 出现的次数 =  n个(a + b) 中取k个b的组合数_nC_k

 

把(a + b)ⁿ展开得到

这就是二项式定理（Binomial Theorem）。