二分图-匈牙利算法模板

二分图就不赘述了，我在知识资料整理有相关资料。

.最大匹配  .最小路径覆盖  .最小点覆盖  .最大独立集

最大匹配：二分图中边集最大的那个匹配

最小路径（边）覆盖：用尽量小的不想交简单路径覆盖有向无环图（DAG）G的所有顶点

最小顶点（点）覆盖：用最少的点，让每条边都至少和其中一个点关联

最大独立集：在N个点的图中选出m个点，使这m个点两两之间没有边的点中，m的最大值

 

二分图匹配模型，二分图有如下几种常见变形：

1.二分图的最小顶点覆盖

最小顶点覆盖要求用最少的点（x或y中的都行），让每条边都至少和其中一个点关联

knoig定理：二分图中最小顶点覆盖等于最大匹配数

 

2.DAG图中的最小路径覆盖

用尽量少的不相交简单路径覆盖DAG的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题

结论：DAG图中的最小路径覆盖数 = 节点数（n）-最大匹配数（m）

 

3.二分图的最大独立集

最大独立问题：在n个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边，求m的最大值

结论：二分图的最大独立集数 = 节点数（n）-最大匹配数（m）

 

有一种很经典的二分图模型，在一个n*n的矩阵中，这个矩阵里面有k个障碍物，你拥有一把武器，一发弹药一次能消灭一行或者一列的障碍物，求消灭全部障碍物所需的最少弹药数。

可以这样考虑：我们以所有行为二分图的左顶点，所有的列为右顶点，那么如果位于坐标p（x，y）有障碍物，我们就连一条边，然后我们只需要最少的顶点覆盖所有的边即可。这样就是二分图的最小顶点覆盖问题了，我们又知道最大小顶点等于二分图最大匹配。

 

 

时间复杂度：

邻接矩阵： O(n³)
邻接表： O(nm)

 

空间复杂度：

邻接矩阵： O(n²)
邻接表：O(n+m)

 

/****************************************************
二分图匹配（匈牙利算法的DFS实现）
INIT：g[][]两边定点划分的情况
CALL:res=hungary();输出最大匹配数
优点：适于稠密图，DFS找增广路快，实现简洁易于理解
时间复杂度:O(VE);
****************************************************/
const int MAXN=1000;
int uN,vN;  //u,v数目
int g[MAXN][MAXN];//编号是0~n-1的 
int linker[MAXN];
bool used[MAXN];
bool dfs(int u)
{
    int v;
    for(v=0;v<vN;v++)
        if(g[u][v]&&!used[v])
        {
            used[v]=true;
            if(linker[v]==-1||dfs(linker[v]))
            {
                linker[v]=u;
                return true;
            }    
        }  
    return false;  
}    
int hungary()
{
    int res=0;
    int u;
    memset(linker,-1,sizeof(linker));
    for(u=0;u<uN;u++)
    {
        memset(used,0,sizeof(used));
        if(dfs(u))  res++;
    } 
    return res;   
}