2017中国大学生程序设计竞赛 - 女生专场B【DP】

B HDU - 6024

【题意】：n个教室，选一些教室建造糖果商店。 每个教室，有一个坐标xi和在这个教室建造糖果商店的花费ci。 对于每一个教室，如果这个教室建造糖果商店，花费就是ci,否则就是与坐标在自己前面的建造糖果商店的距离， 求最小花费。

【分析】：

题解1.首先最左面的楼是必须要建商店的。考虑dp，dp[i][j]表示在第i栋楼是否建商店的最小花费（0不建，1建）。 

j==1：则dp[i][1]=min(dp[i-1][1],dp[i-1][0]) + 建商店花费; 

j==0：则我们找到左面建商店的楼 j，dp[i][0]=dp[j][1] +（j +1至i 楼到 j 栋的花费）。注意位置不是按升序给的，要排个序。

 

题解2.根据题目所给的时间，和题目的数据的大小，我们可以知道题目可以承受住时间复杂度为O(n^2)。

并且每个教室只有两种方案，要么建超市，要么不建。这就很像是背包问题了，所以我们就想到了dp.

我们设dp[i][0]表示在教室i不建超市时前i个教室的费用和的最小值；dp[i][1]表示在教室i建超市时前i个教室的费用和的最小值

那么我们很快可以得出：

dp[i][1] = min(dp[i-1][0],dp[i-1][1]) + ci

dp[i][0],由于可以承受住时间复杂度为O(n^2)的算法，那么我们就可以想到枚举离教室 i 最近的超市 j 的位置，然后取所有情况的最小值就可以了。

假设左边最近超市为 j ，那么教室 j+1 ~教室i 都不能建超市，所以教室 j+1~教室i 的费用分别为他们的位置到教室j 之间的距离了。

dp[i][0] = dp[j][1] + ( 教室j+1~教室i 的费用 )

如果我们暴力求解，那么时间复杂度会变成O(n^3)，会超时。但是我们会发现由于j是从大到小变化的，所以就可以用：t += (i - j) * (nodes[j+1].x - nodes[j].x);来记录教室j+1~教室i的费用和了。

关于 t += (i - j) * (nodes[j+1].x - nodes[j].x); 的解释： 
比如我们要算x3 - x1 ， x2 - x1的sum,那么由于保证了x是升序排列的，所以sum = (x3 - x2) + 2 * (x2 - x1).

【代码】：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<stack>
#include <vector>
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 50005
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
LL dp[N][2];
struct node
{
    LL x,c;
}s[N];
int cmp(node a,node b)
{
    return a.x<b.x;
}
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lld %lld",&s[i].x,&s[i].c);
        sort(s+1,s+n+1,cmp);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[1][1] = s[1].c;///东边肯定有糖果店    所以第一个教室是必须建糖果店的
        dp[1][0] = INF;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            dp[i][1] = min(dp[i-1][1],dp[i-1][0])+s[i].c;
            ///在这个教室建立糖果店所需要的最小花费
            LL sum=0;
            dp[i][0] = INF;
            ///找到前面花费最小的糖果店
            for(int j=i-1;j>=1;j--)
            {
                sum+=(i-j)*(s[j+1].x-s[j].x);
                dp[i][0] = min(dp[i][0],dp[j][1]+sum);
            }
        }
        printf("%lld\n",min(dp[n][1],dp[n][0]));
        ///取建糖果店与不建糖果店的其中的小值
    }
    return 0;
}