博弈论-从入门到放弃
持续更新中……
最近学习了一下博弈论，发现好玩之余，很考验智商。
首先，我们要讨论一些看似显然但是十分有用的定义（公理）
我们这里讲的都是公平组合游戏（两个人轮流操作，可以操作的东西只跟状态有关，跟哪个人无关，最后一个不能操作的人/最后一个操作的人输，不存在平局（或者平局判某一方输）……这些定义可以随便百度到，这里就不讲了）
我们定义先手必败态为P，先手必胜态为N，任何一个状态不是N就是P，不是P就是N，没有别的选择。
- 终止状态（在转移的有向图上没有出边的点）肯定是P
- 假如P有出边，那么P的任意一个出点都是N（你所有能到的地方都是敌人可以赢的地方，你是不是死翘翘了？）
- N状态只有有一个出点是P（能赢的人，一定有一个转移，可以给对手制造必败的状态，让对手掉坑里，那他就死定了）
有了上面的三条公理，我们就可以进行很多的思考了。
当然还有SG函数这个神器。
一个状态的SG函数是评估一个点胜负的指标，假如算出来SG值为0，那么必败，否则必胜。
\(SG_x=mex\{SG_y|y\in out status_x\}\)
也就是x可以转移到的状态y的sg值的mex就是当前的sg值，mex定义为这个集合内的数的最小没有出现过的自然数，也就是自然数集意义下的补集的最小值。其中终止状态的sg为0，可以用这个作为边界递推。
还要知道一个\(SG\)定理：
\(SG=SG_1 \bigoplus SG_2 \bigoplus SG_3 \bigoplus \dots \bigoplus SG_n\)
什么意思呢？这个就是说，假如一个游戏可以拆分成若干个互不影响的子游戏时，这个游戏的SG值就等于各个游戏的SG值的异或和，可以用这个来快速计算很多可以拆分的局面。经常设好SG之后就用这个来打表猜结论（结合SG函数和三大公理）。
下面来具体讲一下各种的游戏，其中以Nim游戏最为重要。之后还会讲一下各类博弈问题的处理方法（对抗搜索（也就是博弈搜索），二分图博弈……）。
\(\quad\)
\(\quad\)
巴什博奕 Bash Game
最基础的题：Bash V1
变形：另外一种问法
小变形：Bash V2
再变形：Bash V3
斐波那契博弈：Bash V4
有下界的bash博弈：Bash V5
\(\quad\)
威佐夫博弈 Wythoff Game
最基础的题：Wythoff V1
\(\quad\)
尼姆博弈 Nim Game
最基础的题：Nim Game
\(\quad\)
对称博弈
个人认为，环形博弈是对称博弈的一种特殊情况，所以都归在这里讲。
这个对称博弈指的是：有n个石子围成的一个环，a和b轮流取石子，每次可以取[1,k]中的某个数个的相邻的石子（原来的环上相邻），谁不能操作谁输，问谁赢？
分几类来讨论
- \(k\geq n\)，显然肯定是先手胜。
- \(k=1\),也就是一颗一颗取，显然，n是偶数的时候先手胜。
- \(k\not=1\)且\(k<n\)，一定是后手赢，因为先手取哪里你就对称地取哪里，你不行了的时候，他肯定比你早不行的。
这就是对称博弈，不算特别难。
\(\quad\)
博弈思想（杂题）
棋盘类：HDU 2147
数字类：HDU 1525
日期类：HDU 1079
