SCOI2012 奇怪的游戏
在中医药的\(ACM\)中做到了,是\(M\)题.
那场比赛被打自闭了\(QAQ\)
题目链接
这道题一看就知道是一个网络流模型
建模也是比较典型的方式.
因为我们选两个相邻的格子,因此我们把它黑白染色,记录\(4\)个量:白点个数\(c_w\),黑点个数\(c_b\),白点之和\(s_w\),黑点之和\(s_b\).
假设最终所有的高度都是\(h\).一次操作会把一个黑点\(+1\),也会把一个白点\(+1\).
我们列出方程:\(h*c_b-s_b=h*c_w-s_w\)
简单移个项得\(h*(c_b-c_w)=s_b-s_w\)
那么,\(h=\frac{s_b-s_w}{c_b-c_w}\)
假设\(c_b-c_w\)不为\(0\),如果\(s_b-s_w\)不为\(c_b-c_w\)的倍数就无解.
否则就把\(h\)算出来然后\(check\)一下.
具体如何\(check\)后文会说.
如果\(c_b-c_w=0\),那么如果\(s_b-s_w\)不为\(0\)也无解.
如果为\(0\)怎么办呢?
首先,若\(c_b-c_w=0\),那么\(n,m\)中肯定有一个偶数.
假设我们可以找到一个答案\(x\),那么\(x+1\)也肯定是答案(因为\(n,m\)中有一个偶数)
因此我们可以二分.
首先二分一个\(x\),然后用网络流\(check\).
这个和上文的\(check\)是一样的.
我们让源点\(S\)向所有黑点\((i,j)\)连边,容量是\(x-w_{i,j}\)
然后我们让所有黑点和相邻的白点连边,容量是\(INF\)
然后我们让所有白点\((i,j)\)向汇点\(T\)连边,容量是\(x-w_{i,j}\)
对于每单位的流,肯定通过某个黑点,某个白点,然后到\(T\).
这等价于我们操作一次.
那么只要记录一下\(V=\sum_{(i,j)is\ black}x-w_{i,j}\)
然后跑一个最大流,看看答案是不是\(V\)即可.
代码如下
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#define N (1621)
#define M (4000001)
#define inf (1e16)
#define rg register int
#define Label puts("NAIVE")
#define spa print(' ')
#define ent print('\n')
#define rand() (((rand())<<(15))^(rand()))
typedef long double ld;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
inline char read(){
static const int IN_LEN=1000000;
static char buf[IN_LEN],*s,*t;
return (s==t?t=(s=buf)+fread(buf,1,IN_LEN,stdin),(s==t?-1:*s++):*s++);
}
template<class T>
inline void read(T &x){
static bool iosig;
static char c;
for(iosig=false,c=read();!isdigit(c);c=read()){
if(c=='-')iosig=true;
if(c==-1)return;
}
for(x=0;isdigit(c);c=read())x=((x+(x<<2))<<1)+(c^'0');
if(iosig)x=-x;
}
inline char readchar(){
static char c;
for(c=read();!isalpha(c);c=read())
if(c==-1)return 0;
return c;
}
const int OUT_LEN = 10000000;
char obuf[OUT_LEN],*ooh=obuf;
inline void print(char c) {
if(ooh==obuf+OUT_LEN)fwrite(obuf,1,OUT_LEN,stdout),ooh=obuf;
*ooh++=c;
}
template<class T>
inline void print(T x){
static int buf[30],cnt;
if(x==0)print('0');
else{
if(x<0)print('-'),x=-x;
for(cnt=0;x;x/=10)buf[++cnt]=x%10+48;
while(cnt)print((char)buf[cnt--]);
}
}
inline void flush(){fwrite(obuf,1,ooh-obuf,stdout);}
#define int LL
int W,n,m,a[41][41],fi[N],ne[M],b[M],S,T,q[N],h,t,d[N],vh[N],E,c[M];
void add(int x,int y,LL z){
ne[++E]=fi[x],fi[x]=E,b[E]=y,c[E]=z;
ne[++E]=fi[y],fi[y]=E,b[E]=x,c[E]=0;
}
void getdis(){
h=t=0,q[++t]=T;
while(h<t){
int u=q[++h];
for(int i=fi[u];i;i=ne[i]){
int v=b[i];
if(d[v]||v==T)continue;
d[v]=d[u]+1,q[++t]=v;
}
}
}
int dfs(int u,LL Flow){
if(u==T)return Flow;
LL res=Flow;
int mindist=n*m+2;
for(int i=fi[u];i;i=ne[i])
if(c[i]){
int v=b[i],nega=i^1;
if(d[u]==d[v]+1){
int x=dfs(v,min(res,1ll*c[i]));
res-=x,c[i]-=x,c[nega]+=x;
if(d[S]==n)return Flow-res;
if(!res)break;
}
mindist=min(d[v],mindist);
}
if(Flow==res){
vh[d[u]]--;
if(!vh[d[u]])d[S]=n*m+2;
else d[u]=mindist+1,vh[d[u]]++;
}
return Flow-res;
}
bool check(LL x){
int cnt=0;LL V=0; E=1;
S=n*m+1,T=(n*m)+2;
memset(fi,0,sizeof(fi));
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
cnt++;
if(((i+j)&1)==0){
V+=1ll*(x-a[i][j]);
add(S,cnt,x-a[i][j]);
if(j<m)add(cnt,cnt+1,inf);
if(i<n)add(cnt,cnt+m,inf);
if(j>1)add(cnt,cnt-1,inf);
if(i>1)add(cnt,cnt-m,inf);
}
else add(cnt,T,x-a[i][j]);
}
for(int i=1;i<=n*m+2;i++)d[i]=0;
getdis(); LL ans=0;
for(int i=0;i<=n*m+2;i++)vh[i]=0;
for(int i=1;i<=n*m+2;i++)vh[d[i]]++;
while(d[S]<n*m+2)ans+=dfs(S,inf);
return (ans==V);
}
signed main(){
read(W);
while(W--){
int cntb=0,cntw=0,sb=0,sw=0,mx=0;
read(n),read(m);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
read(a[i][j]),mx=max(mx,a[i][j]);
if(!((i+j)&1))cntb++,sb+=a[i][j];
else cntw++,sw+=a[i][j];
}
if(cntb!=cntw){
int x=(sb-sw)/(cntb-cntw);
if(x>=mx&&check(x))print(x*cntw-sw),ent;
else print(-1),ent; continue;
}
if(sb!=sw){print(-1),ent;continue;}
LL L=mx,R=inf/2,ans=-1;
while(L<=R){
LL mid=(L+R)>>1;
if(check(mid))R=mid-1,ans=mid;
else L=mid+1;
}
print(ans*cntw-sw),ent;
}
return flush(),0;
}
