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一道很有思维难度的\(dp\)和仙人掌(雾
\(LOJ\)
\(Luogu\)
题目描述
题目要求一个\(n\)个点的点仙人掌的所有点集的斯坦纳树的边数的期望
\(n\leq 200\)
如果是一般图,这个问题是只能大力状压的.
但是这个图是一棵点仙人掌,那样就有多项式复杂度的算法了.
解析
由期望的线性性得我们可以把所有的边分开计算.
对于一条边\((u,v)\),我们分两种情况讨论.
情况\(1\):\((u,v)\)是桥
只要我们选中了桥两边的点,那么\((u,v)\)必被选,否则\((u,v)\)必不被选.
因此我们在\(tarjan\)的过程中维护一个\(size\),就直接把桥的贡献算掉了.
情况\(2\):\((u,v)\)是环边
这下情况变得复杂了.
我们想要算\((u,v)\)的贡献,发现十分棘手.
比如一个六元环,按顺序标号为\(1,2,3,4,5,6\)
我们选的点集在点\(1,3,5\)的儿子中.
那么这个环上所有边都有可能有贡献.
这样,想要算单独一条边的贡献就算不出来了.
我们考虑如何计算整个环的贡献.
我们称选了一个点是指选了它的儿子中的点.
在环上可能选了许多点.相邻的两个点中有距离.我们肯定是选择环长-最长距离作为答案.
令\(F_{i,j,k}\)表示选的最左边点是\(i\),最右边点是\(j\),不考虑\(i,j\)之间路径的情况下答案是\(k\)的点集方案数.
那么\(F_{i,j,k}\)的贡献就是\(F_{i,j,k}*max(k,len-j+i)\)
再令\(w_i\)表示环上第\(i\)个点,删除所有和它相连的环边之后,它所在的连通块的大小.
那么,我们如何转移\(F\)值呢?
当然就是暴力枚举上一个\(j\)啦
那么\(dp\)方程就写出来了
\(F_{i,j,k}=(2^{w_j}-1)*(\sum_{t=0}^kF_{i,j-k,t}+\sum_{t=j-k+1}^{j-1}F_{i,t,k})\)
前半个\(sum\)是计算如果\(j\)和上一个点的距离等于\(k\),这时上一个点的最大值可以随便取.后半部分是\(j\)和上一个点的距离不等于\(k\),这时上一个点的最大值只能为\(k\).
那么我们发现这时一个前缀和的形式,那么只要二维前缀和一下即可.
完结撒花!
代码如下(经过了小幅度压行)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#define N (210)
#define M (80010)
#define P (1000000007)
#define inf (0x7f7f7f7f)
#define rg register int
#define Label puts("NAIVE")
#define spa print(' ')
#define ent print('\n')
#define rand() (((rand())<<(15))^(rand()))
typedef long double ld;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
inline char read(){
static const int IN_LEN=1000000;
static char buf[IN_LEN],*s,*t;
return (s==t?t=(s=buf)+fread(buf,1,IN_LEN,stdin),(s==t?-1:*s++):*s++);
}
template<class T>
inline void read(T &x){
static bool iosig;
static char c;
for(iosig=false,c=read();!isdigit(c);c=read()){
if(c=='-')iosig=true;
if(c==-1)return;
}
for(x=0;isdigit(c);c=read())x=((x+(x<<2))<<1)+(c^'0');
if(iosig)x=-x;
}
inline char readchar(){
static char c;
for(c=read();!isalpha(c);c=read())
if(c==-1)return 0;
return c;
}
const int OUT_LEN = 10000000;
char obuf[OUT_LEN],*ooh=obuf;
inline void print(char c) {
if(ooh==obuf+OUT_LEN)fwrite(obuf,1,OUT_LEN,stdout),ooh=obuf;
*ooh++=c;
}
template<class T>
inline void print(T x){
static int buf[30],cnt;
if(x==0)print('0');
else{
if(x<0)print('-'),x=-x;
for(cnt=0;x;x/=10)buf[++cnt]=x%10+48;
while(cnt)print((char)buf[cnt--]);
}
}
inline void flush(){fwrite(obuf,1,ooh-obuf,stdout);}
int ne[M],fi[N],b[M],siz[N],n,m,E=1;
int dfn[N],low[N],ind,cir[N],sz[M];
LL ans,S1[N][N],S2[N][N],w[N]; bool vis[N];
LL ksm(LL a,int p){
LL res=1;
while(p){
if(p&1)res=(res*a)%P;
a=(a*a)%P,p>>=1;
}
return res;
}
void add(int x,int y){ne[++E]=fi[x],fi[x]=E,b[E]=y;}
int nxt(int u){
for(int i=fi[u];i;i=ne[i]){
int v=b[i];
if(low[v]>dfn[u]||low[u]>dfn[v]||vis[v])continue;
return v;
}
return 0;
}
void dp(int st){
int cnt=0;
for(int i=st;i;i=nxt(i))cir[++cnt]=i,vis[i]=1;
if(cnt==1)return;
for(int i=1;i<=cnt;i++){
int t=cir[i];
for(int j=fi[t];j;j=ne[j])
w[t]+=sz[j];w[t]=(ksm(2ll,w[t]+1)-1ll);
}
for(int i=1;i<cnt;i++){
for(int j=0;j<=cnt;j++)S1[i][j]=w[cir[i]];
for(int j=i+1;j<=cnt;j++){
for(int k=1;k<=j-i;k++){
LL f=(S1[j-k][k]+S2[j-1][k]-S2[j-k][k]+P)%P*w[cir[j]]%P;
(ans+=f*(cnt-max(cnt-j+i,k)))%=P;
S1[j][k]=(S1[j][k-1]+f)%P,S2[j][k]=(S2[j-1][k]+f)%P;
}
for(int k=j-i+1;k<=cnt;k++)
S1[j][k]=S1[j][k-1],S2[j][k]=S2[j-1][k];
}
}
for(int i=0;i<=cnt;i++)
for(int j=0;j<=cnt;j++)
S1[i][j]=S2[i][j]=0;
}
void tarjan(int u,int pre){
dfn[u]=low[u]=++ind,siz[u]=1;
for(int i=fi[u];i;i=ne[i]){
int v=b[i];
if(!dfn[v]){
tarjan(v,u),siz[u]+=siz[v];
low[u]=min(low[v],low[u]);
if(low[v]>dfn[u])
sz[i]=siz[v],sz[i^1]=n-siz[v],
ans=(ans+(ksm(2ll,siz[v])-1ll)*(ksm(2ll,n-siz[v])-1ll)%P)%P;
}
else if(v!=pre)low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
int main(){
read(n),read(m);
for(int i=1,x,y;i<=m;i++)
read(x),read(y),add(x,y),add(y,x);
tarjan(1,0);for(int i=1;i<=n;i++)if(!vis[i])dp(i);
printf("%lld\n",(ans*ksm(ksm(2,n),P-2))%P);
}
