CF662C Binary Table

一道\(FWT\).
题目链接

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题目概述

有一个\(n\)行\(m\)列的表格,每格中都有\(0\)或\(1\).
每次操作可以将某行或某列取反.
操作次数无限,求最后表格中最少有多少个\(1\).
\(n\leq 20,m\leq 100000\)

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解析

我们先想一个简单的暴力.
考虑暴力枚举每行是否取反.假设状态是\(S\).
相当于每列的数都异或上\(S\).然后预处理\(popcount\)计算,取异或结果中\(0/1\)数量的较小值即可(因为可以通过取反一列来改变).
时间复杂度\(O(2^n*m)\),无法通过本题.

考虑如何优化.
首先先把每一列表示的二进制数记录下来.
令\(a_i\)表示\(i\)这个数在表格中出现了几次,
再令\(b_i\)表示\(min(popcount(i),n-popcount(i))\)
那么假设枚举的状态是\(S\),那么此时对应的答案\(ans_S=\sum_{i=0}^{2^n}a_i*b_{i\oplus S}\)
换一种表现形式就是\(ans_S=\sum_{i\oplus j=S}a_ib_j\)
那么就直接\(FWT\)即可.
时间复杂度\(O(2^n*n)\)

代码如下
真的超级短呢

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#define N (1<<21)
#define M (100010)
#define inf (0x7f7f7f7f)
#define rg register int
#define Label puts("NAIVE")
#define spa print(' ')
#define ent print('\n')
#define rand() (((rand())<<(15))^(rand()))
typedef long double ld;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
inline char read(){
	static const int IN_LEN=1000000;
	static char buf[IN_LEN],*s,*t;
	return (s==t?t=(s=buf)+fread(buf,1,IN_LEN,stdin),(s==t?-1:*s++):*s++);
}
template<class T>
inline void read(T &x){
	static bool iosig;
	static char c;
	for(iosig=false,c=read();!isdigit(c);c=read()){
		if(c=='-')iosig=true;
		if(c==-1)return;
	}
	for(x=0;isdigit(c);c=read())x=((x+(x<<2))<<1)+(c^'0');
	if(iosig)x=-x;
}
inline char readchar(){
	static char c;
	for(c=read();!isalpha(c)&&!isdigit(c);c=read())
	if(c==-1)return 0;
	return c;
}
const int OUT_LEN = 10000000;
char obuf[OUT_LEN],*ooh=obuf;
inline void print(char c) {
	if(ooh==obuf+OUT_LEN)fwrite(obuf,1,OUT_LEN,stdout),ooh=obuf;
	*ooh++=c;
}
template<class T>
inline void print(T x){
	static int buf[30],cnt;
	if(x==0)print('0');
	else{
		if(x<0)print('-'),x=-x;
		for(cnt=0;x;x/=10)buf[++cnt]=x%10+48;
		while(cnt)print((char)buf[cnt--]);
	}
}
inline void flush(){fwrite(obuf,1,ooh-obuf,stdout);}
int n,m,num[M],Lim,pc[N];
LL a[N],b[N],ans=1e18;
void FWT(LL *a,int tp){
	for(int i=1;i<Lim;i<<=1)
	for(int R=i<<1,j=0;j<Lim;j+=R)
	for(int k=j;k<j+i;k++){
		LL x=a[k],y=a[k+i];
		a[k]=x+y,a[k+i]=x-y;
		if(tp==-1)a[k]/=2,a[k+i]/=2;
	}
}
int main(){
	read(n),read(m),Lim=(1<<n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++)
	(num[j]=(num[j]<<1)+readchar()-'0');
	for(int i=1;i<=m;i++)
	a[num[i]]++;
	for(int i=1;i<Lim;i++)
	pc[i]=pc[i>>1]+(i&1),b[i]=min(pc[i],n-pc[i]);
	FWT(a,1),FWT(b,1);
	for(int i=0;i<Lim;i++)a[i]=(a[i]*b[i]);
	FWT(a,-1);
	for(int i=0;i<Lim;i++)ans=min(ans,a[i]);
	printf("%lld\n",ans);
}