BZOJ3456 城市规划

一句话题意

求\(n\)个带标号点能构成的简单无向图数目

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考虑令\(f[i]\)表示\(i\)个带标号点的简单无向图数目.
\(f[n]=2^{C_n^2}-\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}*f[i]*2^{C_{n-i}^2}\)
两边同除\((n-1)!\)得
\(\frac{f[n]}{(n-1)!}=\frac{2^{C_n^2}}{(n-1)!}-\frac{\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}*f[i]*2^{C_{n-i}^2}}{(n-1)!}\)
\(=\frac{2^{C_n^2}}{(n-1)!}-\sum_{i=1}^{n-1}\frac{f[i]*2^{C_{n-i}^2}}{(i-1)!*(n-i)!}\)
简单移个项得
\(\frac{f[n]}{(n-1)!}+\sum_{i=1}^{n-1}\frac{f[i]*2^{C_{n-i}^2}}{(i-1)!*(n-i)!}=\frac{2^{C_n^2}}{(n-1)!}\)
那么,
\(\sum_{i=1}^{n}\frac{f[i]*2^{C_{n-i}^2}}{(i-1)!*(n-i)!}=\frac{2^{C_n^2}}{(n-1)!}\)
令
\(A=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{f[i]}{(i-1)!}x^i\)
\(B=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{2^{C_{i}^2}}{i!}x^i\)
\(C=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{2^{C_n^2}}{(n-1)!}x^i\)
\(A*B=C\)
我们要求\(A(n)*(i-1)!\)
\(A\equiv C*B^{-1}(mod\ x^n)\)
多项式求逆即可