前缀和与差分 算法详解

1 . 前缀和

其实可以把它理解为数学上的数列的前n项和（对于一个一维数组的前缀和）。

我们定义对于一个数组a的前缀和数组s，s[i] = a[1]+a[2]+...+a[i].

 

2 . 二维前缀和

与一维前缀和类似，设s[i][j]表示所有a[i'][j']的和。（1≤i'≤i,1≤j'≤j）

有一点像“矩形的面积”那样，把一整块区域的值都加起来。

 

3 . 前缀和的用途

一般用来求区间和。

对于一维情况，现在我给出一个数列a，要求你回答m次询问，每次询问下标j到k的和。朴素的做法显然是对于每次询问都执行一次相加操作，然后输出结果。这样做是正确的，但是当m过大时就会导致计算次数过多而有可能超时。

超时的原因一目了然，重复计算。那么我们应该怎么改进这个方法呢？想象一下，我们如果先提前算好了每一个位置的前缀和，然后用s[k]-s[j]，结果不就是我们这次询问的答案吗？这样便会使计算量大大减小。

对于二维的区间和，也是类似的。

 

我们借助这个图片研究一下。假设在这个矩阵（二维数组）中，我们要求和的是上图中红色区域。现在我们已经预处理出了所有点的前缀和，现在给定两个点（x1,y1），（x2,y2），我们要求 以这两个点连线为对角线的一个子矩阵的数值之和。暴力做法直接挨个加这个我就不再多说了，反正早晚都得TLE，我们重点考虑用前缀和的快速做法。

首先我们可以把s[x2][y2]求出来，它代表整个大矩形的前缀和，然后我们分别减去它左边多出来的一块的前缀和和下边多出来一块的前缀和，这样就是最终答案了？

不是！这不是最终答案。可以发现，在我们剪掉这两个多出的区域时，下边的一小块被减了两次，但减两次显然是不合理的，我们应该加回来。。

所以对于一次的查询答案ans应该等于s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]。

这个二维前缀和也称差分序列。

 

4 . 用差分实现区间操作

给定一个长度为n的数列a，要求支持操作add(L,R,k)表示对a[L]~a[R]的每个数都加上k。并求修改后的序列a。

暴力做法显然，TLE，下一个。

我们考虑用差分的做法。这里 需要一个辅助数组c，c用来记录某一个位置上的总改变量。c[i]表示的是i~n这些元素都加上c[i]这个数。我们对[L,R]区间进行加值操作，在c[L]处加一个k，在c[R+1]处就减去一个k。最后求序列的每个位置变成了多少，只需要求一下c数组的前缀和，然后和原数组按位相加就好。

这个结论的证明我不是太会。。呃记住它是对的就好啦。。

 

对于二维的情况，一个n*m的矩阵，要求支持操作add(x1,y1,x2,y2,a)，表示对于以(x1,y1)为左下角，(x2,y2)为右上角的矩形区域，每个元素都加上a。要求修改后的矩阵。

我们的做法和一维类似。用数组c存储总改变量。在c[x1][y1]处加上a，在c[x2+1][y1]和c[x1][y2+1]处减a，在c[x2+1][y2+1]再加上a。最后(i,k)位置上的数值就是c数组在(i,k)位置的前缀和。