本影演算小记

一些前置知识
  • 域上的代数定义为:

    A 是域 K 上的向量空间,再在 A 上定义乘法 × 使得 (A,+,×) 是一个环,并且 aK,u,vA 有:a(u×v)=(au)×v=u×(av)则称 AK 上的(结合)代数 .

  • 形式幂级数相关

    • 设形式幂级数 X=k=0aktk,则它的序(order)定义为:

      ord(X)={X=0min{nan0}else

      请注意不要与多项式的度 deg 相混淆 .

    • 如果形式幂级数 X 满足 ord(X)=0,则我们称 X可逆的(invertible) .

    • 如果形式幂级数 X 满足 ord(X)=1,则我们称 Xdelta 级数(delta series) .

1.本影代数

定义

PC 上关于单变量多项式的代数,设 P 为所有 P 上线性泛函的向量空间,我们用一个来自物理的记号:

Lp(x)

来表示一个线性泛函 L 作用在多项式 p(x) 上,回过头来,P 上的操作定义如下:

L+Mp(x)=Lp(x)+Mp(x)

cLp(x)=cLp(x)

因为线性泛函由它在基上的值唯一确定(因为它本身可以表示成一个列向量),所以 L 由数列 Lxn 唯一确认 .


FC 上所有关于 t 的形式幂级数的集合,则形式幂级数:

f(t)=k=0akk!tk

通过定义:

f(t)xn=an

定义了 P 上的线性泛函,特别的,tkxn=[n=k]n!,实际上,所有 P 上的线性泛函 L 都有形式幂级数的表示,因为如果:

fL(t)=k=0Lxkk!tk

则:

fL(t)xn=Lxn

所以 L=fL(t),再加上一些简单的分析,可以得到 LfL .


仔细思考,发现对于 F 中的每个元素,代表两个含义—— P 上的线性泛函、与关于 t 的形式幂级数,因此,非常自然地定义了一个 P 上的代数结构,我们称 F本影代数(umbral algebra).

举个例子,对于 F 上的形式幂级数 eyt,有:

eytp(x)=p(y)

因其性质,它被称作赋值泛函(evaluation functional).

性质

注意到 f(t)F,有:

(1)f(t)=k=0f(t)xkk!tk

以及对于所有多项式:

(2)p(x)=k0tkp(x)k!xk

性质 1.1

f(t)g(t)xn=k=0n(nk)f(t)xkg(t)xnk

证明由 (1) 展开即得 .

这定义了线性泛函的乘积,归纳一下可以得到多项式系数版本,在此不作赘述 .

性质 1.2 如果 ord(f(t))>degp(x),则 f(t)p(x)=0 .

证明显然 .

有两个意义不明的性质,先放在这里,证明略去:

性质 1.3

如果对于所有 k0ord(fk(t))=k,且

fk(t)p(x)=fk(t)q(x)

p(x)=q(x) .

性质 1.4

如果对于所有 k0degpk(x)=k,且

f(t)pk(x)=g(t)qk(x)

f(t)=g(t) .

性质 1.5

如果 f(t)F,则

f(t)xp(x)=f(t)p(x)

对任意多项式 p(x) 成立 .

证明:

由线性性,只需要考虑 p(x)=xn 的情况,设

f(t)=k=0akk!tk

则:

f(t)xn=k=0ak+1k!tkxn=an+1=f(t)xn+1

得证 .

性质 1.6

对于 f(t)F,与 p(x)P

f(at)p(x)=f(t)p(ax)

对任意 aC 成立 .

证明:

f(t)=tn,p(x)=xk,我们有:

(at)nxk=ann![n=k]=akn![n=k]=tn(ax)k


下面给出一些 F 上 functional 的例子 .

对于 delta series f(t)F,我们在下文中称其代表的线性泛函为 delta 泛函(delta functional),类似的,如果 f(t) 是 invertible series,我们称其代表的线性泛函为可逆泛函(invertible functional) .

  • 赋值泛函(evaluation functional) eyt

    前边提到过,其满足:

    eytp(x)=p(y)

  • 前向差分泛函(forward difference functional) eyt1

    eyt1p(x)=p(y)p(0)

  • Abel functional teyt

    teytp(x)=p(y)

  • 11t

    11tp(x)=0p(u)eudu

  • eyt1t

    eyt1tp(x)=0yp(u)du

    顺带一提,其逆 teyt1 和伯努利多项式有所关联,实际上,对于伯努利数 Bn 有:

    tet1xn=Bn

    到这里可能有人看出来了,f(t)xn[tn]f(t),有人好像说过——“发明这玩意的估计是幂级数单推人,什么数列都想 cos 成幂函数。”,的确,从比较常用的本影演算,即用形式幂替换数列中就能看出来,但是,通过我们对 Umbral Algebra 的结构剖析,本影演算本身又是提取形式幂级数的工具,这下闭环了 .

  • 1+eyt2

    1+eyt2p(x)=p(0)+p(y)2


有时间和精力的情况下我会尽量更新 .

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