本影演算小记

\( \DeclareMathOperator{\i}{\mathbb{i}} \DeclareMathOperator{\e}{\mathbb{e}} \DeclareMathOperator{\eps}{\varepsilon} \DeclareMathOperator{\P}{\mathbb P} \DeclareMathOperator{\ord}{\operatorname{ord}} \)

一些前置知识

• 域上的代数定义为：

  设 \(A\) 是域 \(\mathbb K\) 上的向量空间，再在 \(A\) 上定义乘法 \(\times\) 使得 \((A,+,\times)\) 是一个环，并且 \(\forall a\in\mathbb K,\mathbf {u,v}\in A\) 有：$$a(\mathbf u\times\mathbf v)=(a\mathbf u)\times\mathbf v=\mathbf u\times(a\mathbf v)$$则称 \(A\) 为域 \(\mathbb K\) 上的（结合）代数 .

• 形式幂级数相关

  • 设形式幂级数 \(X=\sum_{k=0}^{\infty}a_kt^k\)，则它的序（order）定义为：

    \[\ord (X)=\begin{cases}\infty&X=0\\\min\{n\mid a_n\neq 0\}&\text{else}\end{cases} \]

    请注意不要与多项式的度 \(\deg\) 相混淆 .

  • 如果形式幂级数 \(X\) 满足 \(\ord(X)=0\)，则我们称 \(X\) 是可逆的（invertible） .

  • 如果形式幂级数 \(X\) 满足 \(\ord (X)=1\)，则我们称 \(X\) 是 delta 级数（delta series） .

1.本影代数

定义

设 \(\P\) 是 \(\C\) 上关于单变量多项式的代数，设 \(\P^*\) 为所有 \(\P\) 上线性泛函的向量空间，我们用一个来自物理的记号：

\[\langle L\mid p(x)\rangle \]

来表示一个线性泛函 \(L\) 作用在多项式 \(p(x)\) 上，回过头来，\(\P^*\) 上的操作定义如下：

\[\langle L+M\mid p(x)\rangle=\langle L\mid p(x)\rangle+\langle M\mid p(x)\rangle \]

\[\langle cL\mid p(x)\rangle=c\langle L\mid p(x)\rangle \]

因为线性泛函由它在基上的值唯一确定（因为它本身可以表示成一个列向量），所以 \(L\) 由数列 \(\langle L\mid x^n\rangle\) 唯一确认 .

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设 \(\mathcal F\) 为 \(\C\) 上所有关于 \(t\) 的形式幂级数的集合，则形式幂级数：

\[f(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_k}{k!}t^k \]

通过定义：

\[\langle f(t)\mid x^n\rangle=a_n \]

定义了 \(\P\) 上的线性泛函，特别的，\(\langle t^k\mid x^n\rangle=[n=k]n!\)，实际上，所有 \(\P^*\) 上的线性泛函 \(L\) 都有形式幂级数的表示，因为如果：

\[f_L(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\langle L\mid x^k\rangle}{k!}t^k \]

则：

\[\langle f_L(t)\mid x^n\rangle=\langle L\mid x^n\rangle \]

所以 \(L=f_L(t)\)，再加上一些简单的分析，可以得到 \(L\cong f_L\) .

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仔细思考，发现对于 \(\mathcal F\) 中的每个元素，代表两个含义—— \(\P\) 上的线性泛函、与关于 \(t\) 的形式幂级数，因此，非常自然地定义了一个 \(\P^*\) 上的代数结构，我们称 \(\mathcal F\) 为 本影代数（umbral algebra）.

举个例子，对于 \(\mathcal F\) 上的形式幂级数 \(\e^{yt}\)，有：

\[\langle \e^{yt}\mid p(x)\rangle=p(y) \]

因其性质，它被称作赋值泛函（evaluation functional）.

性质

注意到 \(\forall f(t)\in \mathcal F\)，有：

\[f(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\langle f(t)\mid x^k\rangle}{k!}t^k\tag{1} \]

以及对于所有多项式：

\[p(x)=\sum_{k\ge 0}\frac{\langle t^k\mid p(x)\rangle}{k!}x^k\tag{2} \]

性质 1.1

\[\langle f(t)g(t)\mid x^n\rangle=\sum_{k=0}^n\binom{n}k \langle f(t)\mid x^k\rangle \langle g(t)\mid x^{n-k}\rangle \]

证明由 \((1)\) 展开即得 .

这定义了线性泛函的乘积，归纳一下可以得到多项式系数版本，在此不作赘述 .

性质 1.2 \(\quad\) 如果 \(\ord(f(t))>\deg p(x)\)，则 \(\langle f(t)\mid p(x)\rangle=0\) .

证明显然 .

有两个意义不明的性质，先放在这里，证明略去：

性质 1.3 \(\quad\)

如果对于所有 \(k\ge 0\) 有 \(\ord(f_k(t))=k\)，且

\[\langle f_k(t)\mid p(x) \rangle=\langle f_k(t)\mid q(x) \rangle \]

则 \(p(x)=q(x)\) .

性质 1.4 \(\quad\)

如果对于所有 \(k\ge 0\) 有 \(\deg p_k(x)=k\)，且

\[\langle f(t)\mid p_k(x) \rangle=\langle g(t)\mid q_k(x) \rangle \]

则 \(f(t)=g(t)\) .

性质 1.5 \(\quad\)

如果 \(f(t)\in\mathcal F\)，则

\[\langle f(t)\mid xp(x) \rangle=\langle f'(t)\mid p(x) \rangle \]

对任意多项式 \(p(x)\) 成立 .

证明：

由线性性，只需要考虑 \(p(x)=x^n\) 的情况，设

\[f(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_k}{k!} t^k \]

则：

\[\begin{aligned} \langle f'(t)\mid x^n \rangle &= \left\langle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k+1}}{k!} t^k\mid x^{n} \right\rangle=a_{n+1}=\langle f(t)\mid x^{n+1}\rangle \end{aligned} \]

得证 .

性质 1.6 \(\quad\)

对于 \(f(t)\in\mathcal F\)，与 \(p(x)\in\P\)

\[\langle f(at)\mid p(x) \rangle=\langle f(t)\mid p(ax) \rangle \]

对任意 \(a\in\C\) 成立 .

证明：

取 \(f(t)=t^n,p(x)=x^k\)，我们有：

\[\langle (at)^{n}\mid x^k \rangle=a^nn![n=k]=a^kn![n=k]=\langle t^{n}\mid (ax)^k \rangle \]

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下面给出一些 \(\mathcal F\) 上 functional 的例子 .

对于 delta series \(f(t)\in\mathcal F\)，我们在下文中称其代表的线性泛函为 delta 泛函（delta functional），类似的，如果 \(f(t)\) 是 invertible series，我们称其代表的线性泛函为可逆泛函（invertible functional） .

• 赋值泛函（evaluation functional） \(\e^{yt}\)

  前边提到过，其满足：

  \[\langle \e^{yt}\mid p(x)\rangle=p(y) \]

• 前向差分泛函（forward difference functional） \(\e^{yt}-1\)

  \[\langle \e^{yt}-1\mid p(x)\rangle=p(y)-p(0) \]

• Abel functional \(t\e^{yt}\)

  \[\langle t\e^{yt}\mid p(x)\rangle=p'(y) \]

• \(\displaystyle\frac{1}{1-t}\)

  \[\left\langle \frac{1}{1-t}\mid p(x)\right\rangle=\int_0^{\infty} p(u)\e^{-u}\mathbb d u \]

• \(\displaystyle\frac{\e^{yt}-1}{t}\)

  \[\left\langle \frac{\e^{yt}-1}{t}\mid p(x)\right\rangle=\int_0^{y} p(u)\mathbb d u \]

  顺带一提，其逆 \(\displaystyle\frac{t}{\e^{yt}-1}\) 和伯努利多项式有所关联，实际上，对于伯努利数 \(B_n\) 有：

  \[\left\langle \frac{t}{\e^{t}-1}\mid x^n\right\rangle=B_n \]

  到这里可能有人看出来了，\(\langle f(t)\mid x^n\rangle\Leftrightarrow [t^n]f(t)\)，有人好像说过——“发明这玩意的估计是幂级数单推人，什么数列都想 cos 成幂函数。”，的确，从比较常用的本影演算，即用形式幂替换数列中就能看出来，但是，通过我们对 Umbral Algebra 的结构剖析，本影演算本身又是提取形式幂级数的工具，这下闭环了 .

• \(\displaystyle\frac{1+\e^{yt}}{2}\)

  \[\left\langle \frac{1+\e^{yt}}{2} \mid p(x)\right\rangle=\frac{p(0)+p(y)}2 \]

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有时间和精力的情况下我会尽量更新 .