一些前置知识
-
域上的代数定义为:
设 A 是域 K 上的向量空间,再在 A 上定义乘法 × 使得 (A,+,×) 是一个环,并且 ∀a∈K,u,v∈A 有:a(u×v)=(au)×v=u×(av)则称 A 为域 K 上的(结合)代数 .
-
形式幂级数相关
-
设形式幂级数 X=∑∞k=0aktk,则它的序(order)定义为:
ord(X)={∞X=0min{n∣an≠0}else
请注意不要与多项式的度 deg 相混淆 .
-
如果形式幂级数 X 满足 ord(X)=0,则我们称 X 是可逆的(invertible) .
-
如果形式幂级数 X 满足 ord(X)=1,则我们称 X 是 delta 级数(delta series) .
1.本影代数
定义
设 P 是 C 上关于单变量多项式的代数,设 P∗ 为所有 P 上线性泛函的向量空间,我们用一个来自物理的记号:
⟨L∣p(x)⟩
来表示一个线性泛函 L 作用在多项式 p(x) 上,回过头来,P∗ 上的操作定义如下:
⟨L+M∣p(x)⟩=⟨L∣p(x)⟩+⟨M∣p(x)⟩
⟨cL∣p(x)⟩=c⟨L∣p(x)⟩
因为线性泛函由它在基上的值唯一确定(因为它本身可以表示成一个列向量),所以 L 由数列 ⟨L∣xn⟩ 唯一确认 .
设 F 为 C 上所有关于 t 的形式幂级数的集合,则形式幂级数:
f(t)=∞∑k=0akk!tk
通过定义:
⟨f(t)∣xn⟩=an
定义了 P 上的线性泛函,特别的,⟨tk∣xn⟩=[n=k]n!,实际上,所有 P∗ 上的线性泛函 L 都有形式幂级数的表示,因为如果:
fL(t)=∞∑k=0⟨L∣xk⟩k!tk
则:
⟨fL(t)∣xn⟩=⟨L∣xn⟩
所以 L=fL(t),再加上一些简单的分析,可以得到 L≅fL .
仔细思考,发现对于 F 中的每个元素,代表两个含义—— P 上的线性泛函、与关于 t 的形式幂级数,因此,非常自然地定义了一个 P∗ 上的代数结构,我们称 F 为 本影代数(umbral algebra).
举个例子,对于 F 上的形式幂级数 eyt,有:
⟨eyt∣p(x)⟩=p(y)
因其性质,它被称作赋值泛函(evaluation functional).
性质
注意到 ∀f(t)∈F,有:
f(t)=∞∑k=0⟨f(t)∣xk⟩k!tk(1)
以及对于所有多项式:
p(x)=∑k≥0⟨tk∣p(x)⟩k!xk(2)
性质 1.1
⟨f(t)g(t)∣xn⟩=n∑k=0(nk)⟨f(t)∣xk⟩⟨g(t)∣xn−k⟩
证明由 (1) 展开即得 .
这定义了线性泛函的乘积,归纳一下可以得到多项式系数版本,在此不作赘述 .
性质 1.2 如果 ord(f(t))>degp(x),则 ⟨f(t)∣p(x)⟩=0 .
证明显然 .
有两个意义不明的性质,先放在这里,证明略去:
性质 1.3
如果对于所有 k≥0 有 ord(fk(t))=k,且
⟨fk(t)∣p(x)⟩=⟨fk(t)∣q(x)⟩
则 p(x)=q(x) .
性质 1.4
如果对于所有 k≥0 有 degpk(x)=k,且
⟨f(t)∣pk(x)⟩=⟨g(t)∣qk(x)⟩
则 f(t)=g(t) .
性质 1.5
如果 f(t)∈F,则
⟨f(t)∣xp(x)⟩=⟨f′(t)∣p(x)⟩
对任意多项式 p(x) 成立 .
证明:
由线性性,只需要考虑 p(x)=xn 的情况,设
f(t)=∞∑k=0akk!tk
则:
⟨f′(t)∣xn⟩=⟨∞∑k=0ak+1k!tk∣xn⟩=an+1=⟨f(t)∣xn+1⟩
得证 .
性质 1.6
对于 f(t)∈F,与 p(x)∈P
⟨f(at)∣p(x)⟩=⟨f(t)∣p(ax)⟩
对任意 a∈C 成立 .
证明:
取 f(t)=tn,p(x)=xk,我们有:
⟨(at)n∣xk⟩=ann![n=k]=akn![n=k]=⟨tn∣(ax)k⟩
下面给出一些 F 上 functional 的例子 .
对于 delta series f(t)∈F,我们在下文中称其代表的线性泛函为 delta 泛函(delta functional),类似的,如果 f(t) 是 invertible series,我们称其代表的线性泛函为可逆泛函(invertible functional) .
-
赋值泛函(evaluation functional) eyt
前边提到过,其满足:
⟨eyt∣p(x)⟩=p(y)
-
前向差分泛函(forward difference functional) eyt−1
⟨eyt−1∣p(x)⟩=p(y)−p(0)
-
Abel functional teyt
⟨teyt∣p(x)⟩=p′(y)
-
11−t
⟨11−t∣p(x)⟩=∫∞0p(u)e−udu
-
eyt−1t
⟨eyt−1t∣p(x)⟩=∫y0p(u)du
顺带一提,其逆 teyt−1 和伯努利多项式有所关联,实际上,对于伯努利数 Bn 有:
⟨tet−1∣xn⟩=Bn
到这里可能有人看出来了,⟨f(t)∣xn⟩⇔[tn]f(t),有人好像说过——“发明这玩意的估计是幂级数单推人,什么数列都想 cos 成幂函数。”,的确,从比较常用的本影演算,即用形式幂替换数列中就能看出来,但是,通过我们对 Umbral Algebra 的结构剖析,本影演算本身又是提取形式幂级数的工具,这下闭环了 .
-
1+eyt2
⟨1+eyt2∣p(x)⟩=p(0)+p(y)2
有时间和精力的情况下我会尽量更新 .
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步