模 $\pi$ 的剩余类环
今日推歌：
海神寓拝 - sasakure.UK
神威 - TJ.hangneil
伟大，无需多言.jpg
第一首是 BOF2005 冠军曲，优雅神秘的旋律加上具有艺术感的 bga，曲风和 Jack the ripper 似乎很相近，值得一提的是，Jack the ripper 是 lBOF2009 的亚军，仅次于 dragonlady .
第二首更是神中神，TJ.hangneil 的开山之作（“TJ.hangneil...这到底是谁...！！！” - sasakure.UK），虽然 TJ 这个马甲并没有出太多歌（除了自己联动自己之外就只有 ozma，Apollo，MxMxM star），现在 sskr 很多作品的风格都可以说是神威的延续，在最近比较出名的 Raputa，Apollo，魔王 中也能很明显的听出来经典的采样和旋律走向 .
\( \DeclareMathOperator{\i}{\mathbb{i}} \DeclareMathOperator{\e}{\mathbb{e}} \DeclareMathOperator{\eps}{\varepsilon} \)
只知道 \(\Z[\i]\) 和 \(\Z[\omega]\) 的基本性质无法导出相对于 Legendre 符号的三四次剩余特征，又因为在 \(\Z[\i]\) 和 \(\Z[\omega]\) 上带余除法有定义，因此同余关系自然定义，所以引出线性同余相关：剩余系 / 剩余类 .
下边 \(F\) 代表 \(\Z[\i]\) 或 \(\Z[\omega]\) .
设 \(r\in F\)，\(N(r)>1\)，如果 \(\alpha,\beta\in F\)，\(\alpha-\beta\equiv 0\pmod r\)，则 \(\alpha,\beta\) 属于同一个剩余类，否则属于不同的剩余类 .
这样就可以将 \(F\) 中的全体元素分为若干剩余类的一个集合：\(\{C_0,C_1\cdots,C_{l-1}\}\) 由带余除法的定义可知 \(l\) 是有限的 .
可以类似地定义完全剩余系：任意 \(\alpha_i\in C_{i}\,(0\le i<l)\) 叫做模 \(r\) 的一个完全剩余系 .
同样，类之间的加法 \(\oplus\) 和乘法 \(\odot\) 也可以进行定义：设 \(\alpha\in C_i\)，\(\beta\in C_j\)，\(\alpha+\beta\in C_k\)，\(\alpha\beta\in C_h\)，则定义 \(C_i\oplus C_j=C_k\)，\(C_i\odot C_h=C_h\) .
类似整数模 \(n\) 环的定义，下边给出在 \(F\) 上的剩余类环定义：
定义
对于加法 \(\oplus\) 和乘法 \(\odot\)，模 \(r\) 的剩余类集 \(\{C_0,C_1\cdots,C_{l-1}\}\) 构成一个环，称为模 \(r\) 的剩余类环，记为 \(F/(r)\) 或 \(F/rF\) 或 \(F_r\) .
（类似 \(\Z\) 上的整数模 \(n\) 环，其单位群构成一个乘群，记为 \((F/rF)^*\)）
下边给出一个定理：
定理
设 \(\pi\in F\) 是一个不可分数，则 \(F/\pi F\) 是一个有 \(N(\pi)\) 个元的有限域 .
（话说这玩意扩展到 \(F/\pi^k F\) 就可以通过 CRT 求出普遍的 \(F/rF\) 的元数量了）
证：
\(F/\pi F\) 是一个域是显然的，下边 \(\Z[\i]\) 和 \(\Z[\omega]\) 分别讨论：
\(\Z[\omega]\) 的情况
考虑从 \(\Z[\omega]\) 全体不可分数的分类入手：
\(\pi=1-\omega\)
对于 \(a+b\omega\in\Z[\omega]\)，\(a+b\omega=a+b\omega-b+b\equiv a+b\pmod \pi\)，\(0\le a+b<3\)，所以 \(F/\pi F\) 元的数量为 \(N(\pi)=3\) .
\(\pi=q\)，\(q\equiv 2\pmod 3\)
对于这种情况，我们证明集合 \(\{a+b\omega\mid 0\le a<q,0\le b<q\}\) 是 \(F/\pi F\) 的一个完全剩余系 .
设 \(\mu=m+n\omega\in\Z[\omega]\)，\(m=qs+a\)，\(n=qt+b\)，则 \(\mu\equiv a+b\omega\pmod q\)，其中 \(0\le a,b<q\)，容易证明的是，对于 \(a'\neq a\) 或 \(b'\neq b\)，不存在 \(a+b\omega\equiv a'+b'\omega\pmod q\)，故集合 \(\{a+b\omega\mid 0\le a<q,0\le b<q\}\) 是 \(F/\pi F\) 的一个完全剩余系，即 \(F/\pi F\) 元的数量为 \(N(\pi)=q^2\) .
\(p\equiv 1\pmod 3\)，\(\pi=a+b\omega\)，\(\pi\overline\pi=N(\pi)=p\)
我们来证明集合 \(\{0,1,\cdots,p-1\}\) 是 \(F/\pi F\) 的一个完全剩余系 .
设 \(\mu=m+n\omega\in\Z[\omega]\)，因为 \(p=a^2-ab+b^2\)，所以 \(p\not\mid b\)（考虑到 \(p\mid b\) 时有 \(p\mid a^2\)），因此 \(b\) 的逆元存在，由此得存在 \(c\in\Z\) 满足 \(cb\equiv n\pmod p\) . 于是 \(\mu-c\pi=m-ca+(n-cb)\omega\equiv m-ca\pmod p\)，故 \(\mu\equiv m-ca\pmod \pi\)，因为 \(m-ca\in\Z\)，所以此式说明 \(\Z[\omega]\) 中的任意一个元素 \(\mu\) 与一个整数模 \(\pi\) 同余 .
如果 \(l\in\Z\)，则有 \(r,s\in\Z\) 使得 \(l=rp+s\)，因此有 \(l\equiv s\pmod p\)，由此推出 \(l\equiv s\pmod \pi\)，说明 \(\Z[\omega]\) 中的每个元与 \(\{0,1,\cdots,p-1\}\) 中的一个数模 \(\pi\) 同余，类似第二种情况，可以证明 \(\{0,1,\cdots,p-1\}\) 是 \(F/\pi F\) 的一个完全剩余系，即 \(F/\pi F\) 元的数量为 \(N(\pi)=p\) .
$\square$
有了思路，\(\Z[\i]\) 上的证明就很简单了：
\(\Z[\i]\) 的情况
\(\pi=1-\i\)
对于 \(a+b\i\in\Z[\i]\)，\(a+b\i=a+b\i-b+b\equiv a+b\pmod \pi\)，\(0\le a+b<2\)，所以 \(F/\pi F\) 元的数量为 \(N(\pi)=2\) .
\(\pi=q\)，\(q\equiv 3\pmod 4\)
对于这种情况，我们证明集合 \(\{a+b\i\mid 0\le a<q,0\le b<q\}\) 是 \(F/\pi F\) 的一个完全剩余系 .
设 \(\mu=m+n\i\in\Z[\i]\)，\(m=qs+a\)，\(n=qt+b\)，则 \(\mu\equiv a+b\i\pmod q\)，其中 \(0\le a,b<q\)，容易证明的是，对于 \(a'\neq a\) 或 \(b'\neq b\)，不存在 \(a+b\i\equiv a'+b'\i\pmod q\)，故集合 \(\{a+b\i\mid 0\le a<q,0\le b<q\}\) 是 \(F/\pi F\) 的一个完全剩余系，即 \(F/\pi F\) 元的数量为 \(N(\pi)=q^2\) .
\(p\equiv 1\pmod 4\)，\(\pi=a+b\i\)，\(a^2+b^2=N(\pi)=p\)
我们来证明集合 \(\{0,1,\cdots,p-1\}\) 是 \(F/\pi F\) 的一个完全剩余系 .
设 \(\mu=m+n\i\in\Z[\i]\)，因为 \(p=a^2+b^2\)，所以 \(p\not\mid b\)（考虑到 \(p\mid b\) 时有 \(p\mid a^2\)），因此 \(b\) 的逆元存在，由此得存在 \(c\in\Z\) 满足 \(cb\equiv n\pmod p\) . 于是 \(\mu-c\pi=m-ca+(n-cb)\i\equiv m-ca\pmod p\)，故 \(\mu\equiv m-ca\pmod \pi\)，因为 \(m-ca\in\Z\)，所以此式说明 \(\Z[\i]\) 中的任意一个元素 \(\mu\) 与一个整数模 \(\pi\) 同余 .
如果 \(l\in\Z\)，则有 \(r,s\in\Z\) 使得 \(l=rp+s\)，因此有 \(l\equiv s\pmod p\)，由此推出 \(l\equiv s\pmod \pi\)，说明 \(\Z[\i]\) 中的每个元与 \(\{0,1,\cdots,p-1\}\) 中的一个数模 \(\pi\) 同余，类似第二种情况，可以证明 \(\{0,1,\cdots,p-1\}\) 是 \(F/\pi F\) 的一个完全剩余系，即 \(F/\pi F\) 元的数量为 \(N(\pi)=p\) .
$\square$
（根本就是换了个符号罢了）
对于更加普遍的代数数域 \(\Q(\omega_k)\) 能否有一个通用的结论？我不好说，因为对于 \(\Q(\omega_k)\) 来说，范数就没什么太大意义了（因为并不一定是整数），感觉是 open question .
对于扩展到 \(F/\pi^k F\) 我没什么思路，但是这可以导出普遍的 \(F/rF\) 的元数量和 \((F/rF)^*\) 的阶，由此可得在 \(F\) 上普遍的欧拉函数和欧拉定理等东西，评论区大蛇求做法/bx .
