一道高中数学题

推一首歌: Apollo -onoken AxSwing Remix

onoken 恐怕是忘换小号了


试证明:

\[\sum_{k=1}^{90}\frac{\sin(k^2)}{\sin(k)}=45 \]

其中 \(k\) 为角度制。

先把它变成弧度制以便操作:

\[\sum_{k=1}^{90}\frac{\sin(\frac{k^2\pi}{180})}{\sin(\frac{k\pi}{180})} \]

\(\omega=e^{\frac{i\pi}{180}}\),应用欧拉公式则有:

\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{90}\frac{\sin(\frac{k^2\pi}{180})}{\sin(\frac{k\pi}{180})}&=\sum_{k=1}^{90}\frac{\omega^{k^2}-\omega^{-k^2}}{\omega^{k}-\omega^{-k}}\\ &=\sum_{k=1}^{90}\frac{\omega^{k(k-1)}-\omega^{-k(k-1)}\cdot\omega^{-2k}}{1-\omega^{-2k}}\\ &=\sum_{k=1}^{90}\sum_{t=1}^{k} \omega^{k(2t-1-k)} \end{aligned} \]

观察求和的形式,发现如果把 \(\omega^{k(2t-1-k)}\) 看作一个点 \((k,2t-1-k)\) 的话,发现在求和中其遍历了这些点对:\((x,y)\quad x,y\in \N\)\(-x<y<x\)\(|x|,|y|\le 90\)\(x+y\) 为奇数,发现 \((x,y)\)\((-x,-y)\)\((y,x)\)\((-y,-x)\) 的值相同,故可以作出下边的转化:

\[\sum_{k=1}^{90}\sum_{t=1}^{k} \omega^{k(2t-1-k)}=\frac14\sum_{|x|,|y|\le 90\\x+y \text{ is odd}}\omega^{xy} \]

再把点对化成有序以免重复:

\[\frac14\sum_{|x|,|y|\le 90\\x+y \text{ is odd}}\omega^{xy}=\frac12\sum_{|x|,|y|\le 90\\x\text{ is even,}\\y\text{ is odd}}\omega^{xy} \]

展开:

\[\begin{aligned} \frac12\sum_{|x|,|y|\le 90\\x\text{ is odd,}\\y\text{ is even}}\omega^{xy}&=\frac12\sum_{|x|\le 90\\x\text{ is even}}(\omega^{-89x}+\omega^{-87x}+\cdots+\omega^{87x}+\omega^{89x})\\ &=\frac12\cdot 90=45 \end{aligned} \]

\(90\) 换成任意正整数的普遍情况留给读者思考。

另外征求高中做法,话说这玩意可以当钓鱼题了

出处

posted @ 2024-08-16 20:13  Rolling_star  阅读(77)  评论(0编辑  收藏  举报