一道高中数学题

推一首歌： Apollo -onoken AxSwing Remix

onoken 恐怕是忘换小号了

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试证明：

\[\sum_{k=1}^{90}\frac{\sin(k^2)}{\sin(k)}=45 \]

其中 \(k\) 为角度制。

先把它变成弧度制以便操作：

\[\sum_{k=1}^{90}\frac{\sin(\frac{k^2\pi}{180})}{\sin(\frac{k\pi}{180})} \]

记 \(\omega=e^{\frac{i\pi}{180}}\)，应用欧拉公式则有：

\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{90}\frac{\sin(\frac{k^2\pi}{180})}{\sin(\frac{k\pi}{180})}&=\sum_{k=1}^{90}\frac{\omega^{k^2}-\omega^{-k^2}}{\omega^{k}-\omega^{-k}}\\ &=\sum_{k=1}^{90}\frac{\omega^{k(k-1)}-\omega^{-k(k-1)}\cdot\omega^{-2k}}{1-\omega^{-2k}}\\ &=\sum_{k=1}^{90}\sum_{t=1}^{k} \omega^{k(2t-1-k)} \end{aligned} \]

观察求和的形式，发现如果把 \(\omega^{k(2t-1-k)}\) 看作一个点 \((k,2t-1-k)\) 的话，发现在求和中其遍历了这些点对：\((x,y)\quad x,y\in \N\)，\(-x<y<x\)，\(|x|,|y|\le 90\) 且 \(x+y\) 为奇数，发现 \((x,y)\) 与 \((-x,-y)\)，\((y,x)\)，\((-y,-x)\) 的值相同，故可以作出下边的转化：

\[\sum_{k=1}^{90}\sum_{t=1}^{k} \omega^{k(2t-1-k)}=\frac14\sum_{|x|,|y|\le 90\\x+y \text{ is odd}}\omega^{xy} \]

再把点对化成有序以免重复：

\[\frac14\sum_{|x|,|y|\le 90\\x+y \text{ is odd}}\omega^{xy}=\frac12\sum_{|x|,|y|\le 90\\x\text{ is even，}\\y\text{ is odd}}\omega^{xy} \]

展开：

\[\begin{aligned} \frac12\sum_{|x|,|y|\le 90\\x\text{ is odd，}\\y\text{ is even}}\omega^{xy}&=\frac12\sum_{|x|\le 90\\x\text{ is even}}(\omega^{-89x}+\omega^{-87x}+\cdots+\omega^{87x}+\omega^{89x})\\ &=\frac12\cdot 90=45 \end{aligned} \]

把 \(90\) 换成任意正整数的普遍情况留给读者思考。

另外征求高中做法，话说这玩意可以当钓鱼题了

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