数论三角和,二次高斯和,二次互反律

1. 数论三角和

由于 e2πi=1,所以可以构造一个函数,记:

e(x):=e2πix

它在同余中的含义非常巧妙,即当 xy(modn) 时:

e(xn)=e(yn)

这就是数论三角和的重要性质。

2. 二次高斯和

定义 S(m,n)高斯数论三角和

S(m,n):=h=0n1e(h2mn)

考虑到:

e(h2mn)=e(h2mn)(hh(modn))

所以 h 的取值可以不局限于 0n1,只要取遍 n 的完全剩余系即可,记 h(n)h 取遍 n 的完全剩余系,Gauss 和可改写为:

S(m,n):=h(n)e(h2mn)

首先引入一个结论:

如果 A 取遍模 n1 的完全剩余系,B 取遍模 n2 的完全剩余系,并且 (n1,n2)=1,则 An2+Bn1 取遍 n1n2 的完全剩余系。

这个结论证明不难,考虑反证法即可,有趣的是把这个结论的完全剩余系改为缩系仍旧成立。

(n1,n2)=1,则有:

S(m,n1n2)=S(mn2,n1)S(mn1,n2)

h1 取遍 n1 的完全剩余系,h2 取遍 n2 的完全剩余系,则根据定理 1 可得 h0=h1n2+h2n1 取遍 n1n2 的完全剩余系。故:

S(mn2,n1)S(mn1,n2)=[h1(n1)e(h12mn2n1)][h2(n2)e(h22mn1n2)]=h1(n1),h2(n2)[e(h12mn2n1+h22mn1n2)]=h1(n1),h2(n2)[e(m(h22n12+h12n22)n1n2)]=h0(n0)e(h02mn1n2)=S(m,n1n2)

通常情况下,这种高斯和也叫做二次高斯和,通常被记作 τα,事实上,利用勒让德符号可以给予对于一个素数 p 的高斯和 S(n,p) 的一个等价定义:

S(n,p)=h=1p1(hp)e(hnp)

上述定义式的转化是并不显然的,本来以为是非常显然的用 Euler 判别式直接转化的东西。

S(n,p)=h=0p1e(h2np)=1+h=1p1e(h2np)=1+(hp)=12e(hnp)=1+h=1p1e(hnp)(1+(hp))=h=1p1e(hnp)(hp)

为表达简便,下边记 ep(n)=e(np)

然后就可以证明关于高斯和的一个重量级公式:

二次高斯和

S(n,p)={(np)ppmod4=1(np)ippmod4=3

Step 1:求绝对值

将转化后的式子平方后进行化简来求出绝对值:

(h=1p1(hp)ep(hn))2=h=1p1l=1p1(hp)(lp)ep(hn+ln)=h=1p1l=1p1(lhp)ep(n(h+l))=h=1p1x=1p1(h2xp)ep(n(h+hx))=h=1p1x=1p1(h2p)(xp)ep(n(h+hx))=x=1p1(xp)h=1p1ep(nh(x+1))=(p1p)h=1p1ep(nhp)+x=2p1(xp)h=1p1ep(nhx)=(p1p)(p1)x=2p1(xp)=p(p1p)=p(1p)=p(1)p12

必须承认的是,上边这坨比较难看懂又比较显然,虽然我自己每步都盯了许久之后才感觉显然

虽然上边这些很抽象,但是反直觉的是,求符号的过程远比求绝对值困难。

Step 2:求符号

非常自然可以想到将原式进行因式分解来统计符号正负性。

为找寻思路先用几个小的 pn 试一下:

p7n1 时:

S(1,7)=h=06e2πih2/7

x=e2πi/7(其实就是七次单位根)之后改写为:

S(1,7)=h=06xh2=1+x+x4+x9+x16+x25+x36=1+x+x4+x2+x2+x4+x=x+x2+x4x3x5x6

发现这样并不适合因式分解,缺乏基本的对称性,进行一个改写:

x+x2+x4x3x5x6=x2+x4+x6x4x2x6

这样看着舒服多了,并且容易发现有平方差的形式,于是开始分解:

x2+x4+x6x4x2x6=(x2x2)+(x4x4)+(x6x6)=(xx1)(x+x1)+(x2+x2)(xx1)(x+x1)+(x3x3)(x3+x3)=(x+x1)(x3x3)+(x3x3)(x3+x3)=(x3x3)(x3+x+x1x3)=(xx1)(x2x2)(x3x3)

注意到 xkxk 是共轭复数,所以每一项都为纯虚数,统计一下三项分别提供的符号为 i,i,i,所以符号为 i,再用上边推出的式子计算出平方为 7,所以 S(1,7)=i7,这个过程中还有一个有趣的副产物,如果我们把 x 的值代入就可以得到:

(2i)sin2π72isin4π72isin6π7=8isinπ7sin2π7sin3π7=i7

sinπ7sin2π7sin3π7=78


如果你对于同一个 p 试了几个 n 后就会发现 n 只有正负性的影响,再加以观察不难发现以下结论:

S(n,p)=(np)S(1,p)

v=e2πi/p

证明(略潦草,真的会有人有耐心一句不落都看懂来到这里吗):

  1. (np)=1 时: h=0p1vh2n=h=0p1vh2l2 其中 l2n(modp),易得 h=0p1vh2l2=S(1,p)
  2. (np)=1 时:此时 (h2np)=1,故易得 0S(n,p)=S(1,p)

故问题转化为:

S(1,p)={ppmod4=1ippmod4=3

再根据上述因式分解的观察,可以先猜一个先推推看看:

A=k=1p12(1)k1(ep(2k1)ep(12k))

观察到每一项的符号是 i,i,i,i 循环的,相邻两项无贡献,所以符号由 p12 奇偶性决定,所以当 pmod4=1 时,符号为 1,当 pmod4=3 时,符号为 i

因为 (1)k1 系数的影响,先进行平方:

A2=2p1k=1p12sin22kπp=2p1k=1p1sinkπp

摆了,后边一坨真不知道为啥是这个,谁知道请务必告诉我,反正由此可得 A2=p,再加上前边对符号的分析,可得:A={ppmod4=1ippmod4=3

下一步显然是证明 A=S(1,p)

此处有一个非常暴力但是感觉注意力过于突出的做法,出自柯召数论讲义:

1kh,定义 F(x,h,k)=(1xh)(1xh1)(1xhk+1)(1x)(1x2)(1xk)=t=1k1xht+11xt,约定 F(x,h,0)=1,记 f(x,h)=k=0h(1)kF(x,h,k)

首先证明:f(x,h)={0hmod2=1(1x)(1x3)(1xh1)hmod2=0

题外话

构造像 f 这样的函数是容易想到的,因为要让 S(1,p)A 之间也就是求和和乘积之间产生联系,但是这个 F 的定义式从哪来的我表示非常疑惑,虽然感觉除了这处的注意力之外没什么技术性

先推下 F 的递推式:

F(x,h,k)=1xh1xhkF(x,h1,k)=1xhk+xhkxh1xhkF(x,h1,k)=F(x,h1,k)+xhkxh1xhkF(x,h1,k)=F(x,h1,k)+xhk(1xk)1xhkF(x,h1,k)=F(x,h1,k)+xhkF(x,h1,k1)

然后开始嗯算:

f(x,h)=k=0h(1)kF(x,h,k)=1+(1)hF(x,h,h)+k=1h1(1)kF(x,h1,k)+k=1h1(1)kxhkF(x,h1,k1)=1+k=1h2(1)kF(x,h1,k)+k=1h1(1)kxhkF(x,h1,k1)=k=1h1(1)k1F(x,h1,k1)+k=1h1(1)kxhkF(x,h1,k1)=k=1h1(1)k1(1xhk)F(x,h1,k1)=k=1h1(1)k1(1xh1)F(x,h2,k1)=(1xh1)k=1h2(1)k(1xh1)F(x,h2,k)=(1xh1)f(x,h2)

这导出了递推 f(x,h)=(1xh1)f(x,h2),并且 f(x,1)=0,f(x,2)=1x,故此证明了 f(x,h)={0hmod2=1(1x)(1x3)(1xh1)hmod2=0

x=ep(2),h=p1 代入可得:

F(x,h,k)=F(ep(2),p1,k)=t=1k1ep(2p+2t)1ep(2t)=t=1k1ep(2t)1ep(2t)=t=1kep(2t)=(1)kep(k(k+1))

f(x,h)=f(ep(2),p1)=k=0p1(1)kF(ep(2),p1,k)=k=0p1ep(k(k+1))=(1ep(2))(1ep(6))(1ep(42p))=ep(13(p2))k=1p12(ep(2k1)ep(12k))=ep((p12)2)A

从而 ep((p12)2)k=0p1ep(k(k+1))=k=0p1ep(k(k+1)+(p12)2)=k=0p1ep((kp12)2+kp)=k=0p1ep(k2)=k=0p1(kp)e2πikp=S(1,p)=A 证毕

二次互反律

对不同的奇素数 p,q(qp)(pq)=(1)p12q12

由前边计算的高斯和可知 S(1,p)={ppmod4=1ippmod4=3

事实上证明二次互反律使用上边计算出的比较弱的结果——高斯和的平方即可。

B=S(1,p),根据上边的结果有 A2=p(1)p12,所以 Aq1=(A2)q12=pq12(1)p12q12

又因为 (pq)pq12(modq),所以 Aq1(pq)(1)p12q12(modq)

下边计算 (qp)Aq

(qp)(k=1p1(kp)e2πik/p)q(qp)k=1p1(kp)qe2πikq/pk=1p1(kqp)qe2πikq/pk=1p1(kp)e2πik/pA(modq)

(qp)AqA(modq)Aq1(pq)(1)p12q12(modq),故 (qp)(pq)=(1)p12q12 得证。

后记:

有谁想看游记,一共玩了大约两个月,去的地方按顺序如下:

天津,西安,华山,重庆,成都,昆明,广州,珠海,深圳,汕头,长沙,张家界,武汉,南昌,杭州,绍兴,宁波,上海,昆山,苏州,无锡,南京,合肥,郑州,许昌,济南,烟台,大连,沈阳,北京

点赞过 20 就写(

对那个结论的补充

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