9.16 闲话

舒伦提：

Solution:

答案是 \(k\) 取全体奇数 .

先把 \(n\) 表示成唯一分解形式 \(n=p_1^{\alpha_1}\dots p_t^{\alpha_t}\)，转化为：

\[\prod \frac{2\alpha_i+1}{\alpha_i+1}=k \]

因为每个分数的分子是奇数，所以显然 \(k\) 一定是奇数 .

所以现在要试图构造一个奇数，显然要归纳 .

假设 \(\alpha_i=2^i(r\times 2^t-1)\)，其中 \(r\) 为奇数，然后可以发现 $\prod $ 里的东西都消掉了，得到：

\[\prod \frac{2\alpha_i+1}{\alpha_i+1}=\frac{r\times 2^t-1}{r}=k \]

两边都乘上一个 \(r\)，因为 \(r\) 是奇数，因此就可以进行对 \(k\) 的归纳了 .