9.10 闲话

今日推歌：

おくすり飲んで寝よう - もちうつね / 初音ミク

歌词

ちっちゃな頃からすれ違うね

从小时候开始错过呢

ひらめいたよ おくすり飲んで寝よう

闪闪发光哟 吃了药去睡吧

あっけらかんでももーいいよ

就算傻傻的发呆也没关系哦

孤独でモーマンタイ

孤独地 冇问题

ちっちゃなオトナがパンケーキいい気

小小的大人对薄饼沾沾自喜

病気なんだね おくすり飲んで寝よう

生病了呢 所以吃了药再睡吧

即効性はないけれど おためしいかが？

虽然不是吃了就会好 但还是试试药吧？

同じもの食べて(怠惰怠惰怠惰)

吃着同样的食物(怠惰怠惰怠惰)

同じ曲聴いて(なんでなんでなんで)

听着同样的音乐(为咩为咩为咩)

同じことをして(だるいだるいだるい)

做着同样的事情(懒洋洋懒洋洋)

土と眠ります

和土壤睡在一起

さようならは言わないで

不要说再见呀

特効薬見つけたから

找到特效药的话

欺く夢で取り繕った

就用欺诈的梦点缀吧

日記帳はゴミ箱

日记本不过是垃圾箱

早々、躁だね

赶快，真急躁呢

想像、騒だね

想象，真嘈杂呢

相当、怱だね

相当，急匆匆呢

独り言します

自言自语自说自话

ちっちゃな頃から変わり者のフリをしてる

从小开始就假装是奇怪的人

ひねくれちゃっている

现在变得扭扭捏捏的

そうだね そうじゃない もーいいよ

是这样呢 不是这样 够了啦

孤独でモーマンタイ

孤独地 冇问题

ちっちゃな頃からイイねイイね

从小时候开始就 好啦 好啦

吐いて捨てるね おくすり飲んで寝よう

吐出来扔出去啦 然后吃药睡觉吧

磊々落々楽に生きたいね ヤウマンタイ

磊磊落落 想要轻松地活着啊 可是有问题

ちっちゃな大人がダンス ナイス

小小的大人正在dance nice

病気なんだねおくすり飲んで寝よう

生病的原因啦 所以吃了药去睡觉吧

即効性はないけれど おためしいかが？

虽然不是吃了就会好 但总归要试试吧？

ちっちゃな頃からすれ違うね

从小时候开始就错过呢

ひらめいたよ おくすり飲んで寝よう

闪闪发光的呢 吃了药去睡觉吧

あっけらかんでももーいいよ

就算笨笨的发呆也没关系啦

孤独でモーマンタイ

孤独地 冇问题

ちっちゃなオトナがパンケーキいい気

小小的大人对薄饼洋洋自得

病気なんだね おくすり飲んで寝よう

因为生病了呢 所以吃了药去睡吧

即効性はないけれど おためしいかが？

虽然不是吃了就会好 但还是试试吧？

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一个序列 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 是合法的，当且仅当：

• \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 都是 \([1,k]\) 中的整数。
• \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 互不相等。

一个序列的值定义为它里面所有数的乘积，即 \(a_1\times a_2\times\dots\times a_n\)。

求所有不同合法序列的值的和对 \(p\) 取模后的结果。两个序列不同当且仅当他们任意一位不同。

考虑用生成函数刻画，答案即为：

\[[z^n]\prod_{i=1}^k(1+iz) \]

意义相当显然，然后对其做 exp / ln：

\[\begin{aligned} &\exp\left(\sum_{i=1}^k\ln(1+iz)\right)\\ &=\exp\left(\sum_{i=1}^k\sum_{j\ge 1}(-1)^{j+1}\frac{(iz)^j}{j}\right)\\ &=\exp\left(\sum_{j\ge 1}\frac{(-1)^{j+1}}{j}\sum_{i=1}^k(iz)^j\right)\\ \end{aligned}\]

考虑后边的 EGF 形式：

\[\begin{aligned} &\sum_{k\ge 0}\sum_{i=0}^{k}\frac{(iz)^k}{k!}\\ &=\sum_{i=0}^{k}e^{iz}\\ &=\frac{e^{(k+1)z}-1}{e^z-1} \end{aligned}\]

然后就可以做到 \(\mathcal{O}(n\log n)\) 了 .

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C1 难度，应该是普通 OIer 也能做的 .

因为有点简单，所以不放答案了 .

直接构造 \(S=\{F_0,F_{2},F_{4},\dots,F_{2\lceil n/2\rceil}\}\) 即可，至于证明的话，图论建模，如果 \(x-y=F_{2k-1}\) 则连边 \((x,y)\)，然后证明这个图中没有环即可得到 \(|S|\ge \lceil n/2\rceil+1\) .