今日推歌：
限りなく灰色へ - すりぃ / 鏡音レン
歌词
才能なんてないから
未曾拥有所谓才能
ここで一生泣いているんだろ
便于此处饮泣一生
目に映った景色の青さが
青蓝之景映入眼帘
羨ましく思っていた
脑海之中尽是惊羡
路肩に転がる人生
人生路旁跌跌撞撞
アスファルトの温度下がってる
沥青温度不断下降
真夜中を照らす灯りを求め
寻找灯火照明深夜
つなぐ電波セカイへと
向着电波「世界」
Rainy Rainy
Rainy Rainy
求めるものだけ描いた
不断描绘 渴求之物
心閉まって待って
紧闭心门 再等一下！
本当は叫びたいのよ
其实想要放声呼喊啊
Rainy Rainy
Rainy Rainy
強くありたいと願った
祈愿自己能够始终坚强
声は無情に散って孤独を奏る
声音无情散去奏响孤独
指先から伝わっていく虚しさの色
于指尖渗出的虚无之色
『認めてはくれないの』
『连一丝认同都不愿给予吗？』
燻んでしまったの灰色に
化为褪去色彩的淡灰
こんな才能なんて借り物
这般才能也非我之物
まだ人生終わっていないから
是谁说人生未到终点
諦めんなって誰かの声
不要就这样放弃抛却
見失ってしまったのアイロニー
消失不见的反语之声
気付けなくて今も抗ってる
难以察觉也仍在反抗
この感情奪って去ってよ
夺走这份感情离去吧
ドロドロになってしまう前に
在它变得破败不堪前
wow..私だけみて愛を伝えて
wow..注视着我传达爱恋
wow..こんなセカイとバイバイバイバイ
wow..和这样的世界道别Bye Bye Bye Bye
wow..滲む想いなぞって描いた
wow..描摹渗透出的思念
wow..夢の形に泣いちゃった
wow..为梦想之形而哭泣
いつかはできると思ってた
曾以为自己能够做到
だけど現実は残酷だろ
可现实定会无比残酷
焦りと不安の渦の間に
在焦虑不安的旋涡间
黒くなって浮かんでいる
变得黑暗而浮在空中
退廃的なセンスと
这不就是颓败的品味
曖昧な表現なんかじゃ
和含糊不清的表达吗
奇を衒った奴らの芸術に
被那些哗众取宠的人
飲み込まれて消えていく
所吞没而后消失殆尽
Rainy Rainy
Rainy Rainy
雨と流れていく徒労感
与雨水一同流去的徒劳感
肩を濡らして残った
浸湿了肩膀
冷たい記憶の体温
残留着冰冷记忆的体温
Rainy Rainy
Rainy Rainy
雲の隙間から覗いた
从白云的间隙泄出的那一缕光芒
光当たって届いて
倾洒在我的身体上
身体を軽くしたんだ
渐渐变得轻盈
美学とかプライドとか語る前に
在谈论美学或是自尊感前
『やれることやっていけ』
『去做自己力所能及之事吧』
閉ざしてしまったの退路に
向后的退路早已经被封锁切断
焼けた才能を一つ置いてけ
把那被嫉妒的才能扔在一边吧
ただやったもん勝ちなんでしょ
只要去做了就算成功吧？
固唾飲んでる場合じゃないでしょ
现在不是紧张的时候吧！
目を開いても変わらぬアイロニー
睁开双眼也不会变的反语
気付いたってどーしようもないから
即便注意到了也无能为力
それを虎視眈々と狙ってる
所以虎视眈眈地等待时机
ペルソナになんて越されんなよ
别被那些伪装假象超越啊
wow..私だけみて愛を伝えて
wow..注视着我传达爱恋
wow..こんなセカイとバイバイバイバイ
wow..和这样的世界道别Bye Bye Bye Bye
wow..滲む想いなぞって描いた
wow..描摹渗透出的思念
wow..言の葉の意味飲み込んで
wow..领会了言语的含义
燻んでしまったの灰色に
早已黯淡无光的灰色
こんな才能なんて借り物
这般才能也非我之物
まだ人生終わっていないから
谁说着人生未到终点
諦めんなって誰かの声
不要就这样放弃抛却
見失ってしまったのアイロニー
不寻踪迹的反语之声
気付けなくて今も抗ってる
无法察觉却仍在抵抗
この感情奪って去ってよ
夺走这份感情离去吧
ドロドロになってしまう前に
趁还能辨清其模样前
wow..私だけみて愛を伝えて
wow..注视着我传达爱恋
wow..こんなセカイとバイバイバイバイ
wow..就此和这样的世界Bye Bye Bye Bye
wow..滲む想いなぞって描いた
wow..描摹渗透出的思念
wow..夢の形笑っていた
wow..梦想之形绽放笑容
观前提示：如有对式子过敏现象请抓紧点赞后退出，本文字数大约 8.0K，加载 \(\LaTeX\) 可能需要一段时间 .
在写 9.6 闲话 的时候就在想：对于这种推导，能否导出欧拉求和公式：
\[\sum_{a\le k<b} f(k)=\int_a^bf(x)\mathrm{d}x+\sum_{k=1}^m\left .\frac {B_k}{k!}f^{(k-1)}(x)\right|^b_a-(-1)^m\int_a^b\frac{B_m(\{x\})}{m!}f^{(m)}(x)\mathrm{d}x
\]
其中 \(B_k\) 为伯努利数，\(B_m(x)\) 为伯努利恒等式，定义为 \(\displaystyle B_m(x)=\sum_k\binom{m}{k}B_kx^{m-k}\) .
答案是肯定的，推导并不难，只是比较考验耐心而已（实际上这个推导用了大约 10 张草稿纸才搞出来）
依照当时的方法，首先对 \(\displaystyle\int_a^bB_m(\{x\})f^{(m)}(x)\mathrm{d}x\) 进行处理：
\[\begin{aligned}
\displaystyle\int_a^bB_m(\{x\})f^{(m)}(x)\mathrm{d}x=\displaystyle\int_a^bB_m(x-\lfloor x\rfloor)f^{(m)}(x)\mathrm{d}x
\end{aligned}\]
然后考虑 \(B_m(x-y)\) 的化简：
\[\begin{aligned}
B_m(x-y)&=\sum_k\binom{m}{k}B_k(x-y)^{m-k}\\
&=\sum_k\binom{m}{k}B_k\sum_j\binom{m-k}{j}(-y)^jx^{m-k-j}\\
&=\sum_k\binom{m-j}{m-k-j}B_k\sum_j\binom{m}{j}(-y)^jx^{m-k-j}\\
&=\sum_j\binom{m}{j}(-y)^j\sum_k\binom{m-j}{m-k-j}B_kx^{m-k-j}\\
&=\sum_j\binom{m}{j}(-y)^jB_{m-j}(x)=\sum_j\binom{m}{j}(-y)^{m-j}B_{j}(x)
\end{aligned}\]
然后代回式子：
\[\begin{aligned}
&\int_a^bB_m(x-\lfloor x\rfloor)f^{(m)}(x)\mathrm{d}x\\
&=\int_a^b\sum_k\binom{m}{k}(-\lfloor x\rfloor)^{m-k}B_{k}(x)f^{(m)}(x)\mathrm{d}x\\
&=\sum_k\binom{m}{k}(-1)^{m-k}\int_a^b\lfloor x\rfloor^{m-k}B_{k}(x)f^{(m)}(x)\mathrm{d}x\\
\end{aligned}\]
接下来对后边的 \(\displaystyle\int_a^b\lfloor x\rfloor^{m-k}B_{k}(x)f^{(m)}(x)\mathrm{d}x\) 这一坨东西用当时分段的方法进行化简：
\[\begin{aligned}
&\displaystyle\int_a^b\lfloor x\rfloor^{m-k}B_{k}(x)f^{(m)}(x)\mathrm{d}x\\
&=\sum_{i=a}^{b-1}i^{m-k}\int_i^{i+1}B_{k}(x)f^{(m)}(x)\mathrm{d}x
\end{aligned}\]
然后就是对于 \(\displaystyle\int_i^{i+1}B_{k}(x)f^{(m)}(x)\) 不断进行分部积分：
\[\begin{aligned}
\int_a^bB_{k}(x)f^{(m)}(x)&=\left.B_k(x)f^{(m-1)}(x)\right|_a^b-\int_a^bB_{k}'(x)f^{(m-1)}(x)\\
&=\left.B_k(x)f^{(m-1)}(x)\right|_a^b-\left(\left.B_{k}'(x)f^{(m-1)}(x)\right|_a^b-\int_a^bB_{k}'(x)f^{(m-2)}(x)\right)\\
&\vdots\\
&=\sum_{j=0}^{k}\left.(-1)^{j}B_{k}^{(j)}(x)f^{(m-j-1)}(x)\right|_a^b
\end{aligned}\]
上边的式子为了方便令 \(f^{(-1)}(x)\) 为 \(f(x)\) 的原函数 .
直觉上来看 \(B_{k}^{(j)}(x)\) 有好性质：
\[\begin{aligned}
B_{m}^{(n)}(x)&=\sum_{k}\binom{m}{k}B_k(x^{m-k})^{(n)}\\
&=\sum_{k}\binom{m}{k}B_kx^{m-k-n}(m-k)^{\underline{n}}\\
&=n!\sum_{k}\binom{m}{k}B_kx^{m-k-n}\binom{m-k}{n}\\
&=n!\binom{m}{n}\sum_{k}\binom{m-n}{m-k-n}B_kx^{m-k-n}\\
&=m^{\underline{n}}\sum_{k}\binom{m-n}{k}B_kx^{m-k-n}\\
&=m^{\underline{n}}B_{m-n}(x)\\
\end{aligned}\]
是时候把所有式子都展开合并了：
\[\begin{aligned}
&\sum_k\binom{m}{k}(-1)^{m-k}\int_a^b\lfloor x\rfloor^{m-k}B_{k}(x)f^{(m)}(x)\mathrm{d}x\\
&=\sum_k\binom{m}{k}(-1)^{m-k}\sum_{i=a}^{b-1}i^{m-k}\int_i^{i+1}B_{k}(x)f^{(m)}(x)\mathrm{d}x\\
&=\sum_k\binom{m}{k}(-1)^{m-k}\sum_{i=a}^{b-1}i^{m-k}\sum_{j=0}^{k}\left.(-1)^{j}B_{k}^{(j)}(x)f^{(m-j-1)}(x)\right|_i^{i+1}\\
&=\sum_k\binom{m}{k}(-1)^{m-k}\sum_{i=a}^{b-1}i^{m-k}\sum_{j=0}^{k}\left.(-1)^{j}k^{\underline{j}}B_{k-j}(x)f^{(m-j-1)}(x)\right|_i^{i+1}\\
&=\sum_{i=a}^{b-1}\left[ \sum_k\binom{m}{k}(-i)^{m-k}\sum_{j=0}^{k}(-1)^{j}k^{\underline{j}}B_{k-j}(x)f^{(m-j-1)}(x) \right] _i^{i+1}\\
\end{aligned}\]
对中括号里面的东西搞一搞：
\[\begin{aligned}
&\sum_k\binom{m}{k}(-i)^{m-k}\sum_{j=0}^{k}(-1)^{j}k^{\underline{j}}B_{k-j}(x)f^{(m-j-1)}(x)\\
&=\sum_k\binom{m}{k}(-i)^{m-k}\sum_{j= 0}^k(-1)^{m-j}k^{\underline{m-j}}B_{k-(m-j)}(x)f^{(j-1)}(x)\\
&=\sum_{j=0}^m(-1)^{m-j}f^{(j-1)}(x)\sum_k\binom{m}{k}(-i)^{m-k}k^{\underline{m-j}}B_{k-(m-j)}(x)\\
\end{aligned}\]
把 \(\sum\limits_k\) 里的东西提出来化简一下：
\[\begin{aligned}
&\sum_k\binom{m}{k}(-i)^{m-k}k^{\underline{m-j}}B_{k-(m-j)}(x)\\
&=(m-j)!\sum_k\binom{m}{k}\binom{k}{m-j}(-i)^{m-k}B_{k-(m-j)}(x)\\
&=m^{\underline{m-j}}\sum_k\binom{m-(m-j)}{k-(m-j)}(-i)^{m-k}B_{k-(m-j)}(x)\\
&=m^{\underline{m-j}}\sum_k\binom{j}{j-(m-k)}(-i)^{m-k}B_{j-(m-k)}(x)\\
&=m^{\underline{m-j}}\sum_k\binom{j}{j-k}(-i)^{k}B_{j-k}(x)\\
\end{aligned}\]
观察到和式内的东西和 \(B_m(x-y)\) 的形式一样，所以最后就是：
\[m^{\underline{m-j}}B_j(x-i)
\]
然后回代：
\[\begin{aligned}
&\sum_{i=a}^{b-1}\left[ \sum_k\binom{m}{k}(-i)^{m-k}\sum_{j=0}^{k}(-1)^{j}k^{\underline{j}}B_{k-j}(x)f^{(m-j-1)}(x) \right] _i^{i+1}\\
&=\sum_{i=a}^{b-1}\left[ \sum_{j= 0}^m(-1)^{m-j}f^{(j-1)}(x)m^{\underline{m-j}}B_{j}(x-i)\right] _i^{i+1}\\
&=\sum_{j=0}^m(-1)^{m-j}m^{\underline{m-j}}\sum_{i=a}^{b-1}\left[ f^{(j-1)}(x)B_{j}(x-i)\right] _i^{i+1}\\
&=m!\sum_{j=0}^m(-1)^{m-j}\frac{1}{j!}\sum_{i=a}^{b-1}\left( f^{(j-1)}(i+1)B_{j}(1)-f^{(j-1)}(i)B_{j}(0)\right)\\
\end{aligned}\]
\(B_j(0)=B_j\) 是显然的，然后观察 \(B_j(1)\)：
\[B_j(1)=\sum_{t}\binom{j}{t}B_t=\sum_{t\le j-1}\binom{j}{t}B_t+B_j=[j-1=0]+B_j
\]
然后分析 \(\displaystyle\sum_{i=a}^{b-1}\left( f^{(j-1)}(i+1)B_{j}(1)-f^{(j-1)}(i)B_{j}(0)\right)\)：
- \(j=1\)
\[\begin{aligned}
&\sum_{i=a}^{b-1}\left( f(i+1)B_{1}(1)-f(i)B_{1}(0)\right)\\
&=\sum_{i=a}^{b-1}\left( f(i+1)B_1-f(i)B_{1}\right)+\sum_{i=a+1}^bf(i)\\
&=B_1(f(b)-f(a))+\sum_{i=a+1}^bf(i)=\left.B_1f(x)\right|_a^b+\sum_{i=a+1}^bf(i)
\end{aligned}\]
- \(j\not=1\)
\[\begin{aligned}
&\sum_{i=a}^{b-1}\left( f^{(j-1)}(i+1)B_{j}(1)-f^{(j-1)}(i)B_{j}(0)\right)\\
&=\sum_{i=a}^{b-1}\left( f^{(j-1)}(i+1)B_j-f(i)^{(j-1)}B_{j}\right)\\
&=B_j(f^{(j-1)}(b)-f^{(j-1)}(a))=\left.B_jf^{(j-1)}(x)\right|_a^b
\end{aligned}\]
将分析结果代入：
\[\begin{aligned}
&m!\sum_{j=0}^m(-1)^{m-j}\frac{1}{j!}\sum_{i=a}^{b-1}\left( f^{(j-1)}(i+1)B_{j}(1)-f^{(j-1)}(i)B_{j}(0)\right)\\
&=m!\sum_{j=0}^m(-1)^{m-j}\frac{1}{j!}\left.B_jf^{(j-1)}(x)\right|_a^b+m!(-1)^{m-1}\sum_{i=a+1}^bf(i)\\
&=m!\sum_{j=1}^m(-1)^{m-j}\frac{1}{j!}\left.B_jf^{(j-1)}(x)\right|_a^b+m!(-1)^{m-1}\sum_{i=a+1}^bf(i)+m!(-1)^m\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\\
\end{aligned}\]
现在可以加上最一开始的左式了：
\[\begin{aligned}
\int_a^bB_m(\{x\})f^{(m)}(x)\mathrm{d}x&=m!\sum_{j=1}^m(-1)^{m-j}\frac{1}{j!}\left.B_jf^{(j-1)}(x)\right|_a^b+m!(-1)^{m-1}\sum_{i=a+1}^bf(i)+m!(-1)^m\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\\
(-1)^m\int_a^b\frac{B_m(\{x\})}{m!}f^{(m)}(x)\mathrm{d}x&=\sum_{j=1}^m(-1)^{j}\frac{1}{j!}\left.B_jf^{(j-1)}(x)\right|_a^b-\sum_{i=a+1}^bf(i)+\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\\
\sum_{i=a+1}^bf(i)&=\sum_{j=1}^m(-1)^{j}\frac{1}{j!}\left.B_jf^{(j-1)}(x)\right|_a^b+\int_a^bf(x)\mathrm{d}x-(-1)^m\int_a^b\frac{B_m(\{x\})}{m!}f^{(m)}(x)\mathrm{d}x\\
\sum_{a<k\le b}f(k)&=\int_a^bf(x)\mathrm{d}x+\left.\sum_{k=1}^m(-1)^{k}\frac{B_k}{k!}f^{(k-1)}(x)\right|_a^b-(-1)^m\int_a^b\frac{B_m(\{x\})}{m!}f^{(m)}(x)\mathrm{d}x\\
\end{aligned}\]
这几乎就是欧拉求和公式了，只不过这是左开右闭的形式，接下来只需要说明 \(\displaystyle\left.\sum_{k=1}^m\frac{B_k}{k!}f^{(k-1)}(x)\right|_a^b-\left.\sum_{k=1}^m(-1)^{k}\frac{B_k}{k!}f^{(k-1)}(x)\right|_a^b=f(b)-f(a)\) 即可，这是容易证明的，因为对于 \(>1\) 的奇数 \(k\)，\(B_k=0\) .
我们最后加上 \(\displaystyle\left.\sum_{k=1}^m\frac{B_k}{k!}f^{(k-1)}(x)\right|_a^b-\left.\sum_{k=1}^m(-1)^{k}\frac{B_k}{k!}f^{(k-1)}(x)\right|_a^b=f(b)-f(a)\) 就可以完结撒花了：
\[\sum_{a\le k< b}f(k)=\int_a^bf(x)\mathrm{d}x+\left.\sum_{k=1}^m\frac{B_k}{k!}f^{(k-1)}(x)\right|_a^b-(-1)^m\int_a^b\frac{B_m(\{x\})}{m!}f^{(m)}(x)\mathrm{d}x
\]
用了这么长篇幅推导，似乎应用也是不必要的了，借鉴了 9.6 闲话（指就涉及了第一步），9.6 闲话借鉴了知乎专栏，所以或许算独立推导？
真的有人会看完完整推导过程吗？大概大多只是快速划到最底下还不点赞罢 .
