8.31 闲话

也许算简单的数论问题？

答案是简洁的：

\[p^k,\,\,p\text{ is prime},\,\,k\ge 2 \]

这个答案容易验证是正确的，接下来验证只有这种情况可以 .

设 \(n\) 有不少于两种不同的素因子，设最小的两个素因子分别为 \(p\,\),\(\,q\)，且 \(p<q\)，所以 \(n\) 的因子从小到大分别为（设 \(t,k\) 分别为满足 \(p^t\mathop\Vert n\) 和 \(q^k\mathop\Vert n\) 的正整数）：

\[1,p,\cdots,p^t,q,\cdots,q^k,\cdots \]

显然的，\(p\) 和 \(q\) 不能穿插排放，所以只能这么做，那么 \(p^{t-1}\mid p^{t}+q\)，导出 \(p^{t-1}\mid q\)，矛盾，故不存在超过一个素因子的 \(n\) 满足此条件 .

虽然我一点都不会不等式，但是被 \(\color{red}{\text{j}}\text{ijidawang}\) 指导一番过后还是会了 .

\[a_{n+2}=\sqrt{\left[(x_1+x_2+\cdots+x_n)+x_{n+1}+x_{n+2}\right]\left[\left(\frac 1{x_1}+\frac 1{x_2}+\cdots+\frac 1{x_n}\right)+\frac 1{x_{n+1}}+\frac 1{x_{n+2}}\right]}\\ \ge a_n + \sqrt{2+\frac{x_{n+1}}{x_{n+2}}+\frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}} \\ >a_n+2 \]

第一个不等号为柯西不等式，第二个为均值不等式，而且因为任意的 \(x\) 不相等所以不取等 .

注意到 \(a_n\) 是整数，然后就做完了 .