8.24 闲话

几道 MO 题：

Solution

挺不平凡的一道题，首先一个数如果不是素数的幂的话，那么它一定是两个素数的积，以此为起点证明这道题 .

设这连续的 \(n\) 个整数分别为 \(m+1,m+2,\dots,m+n\) .

设互不相同的 \(2n\) 个素数为 \(p_1,p_2,\dots,p_n\)，\(q_1,q_2,\dots,q_n\)，然后尝试构造一个 \(m\) 使得 \(m+i\) 被 \(p_i\cdot q_i\) 整除 .

即为 \(m+i\equiv 0\pmod {p_iq_i}\)，移项得 \(m\equiv -i\pmod {p_iq_i}\)，即 \(m\) 满足这个同余方程组 .

因为模数两两互质，根据中国剩余定理，存在一个满足条件的 \(m\) .

Solution

比昨天的题还平凡 .

改写成同余形式：\(m^n\equiv 1\pmod{2^{1989}}\) .

注意到 \(m\) 是奇数，所以直接使用欧拉定理得：\(n\equiv 0\pmod{\varphi(2^{1989})}\) .

所以最小的 \(n\) 为 \(\varphi(2^{1989})=2^{1988}\) .

Solution

这题当时初中参加 MO 的时候就没搞明白，当时 MO 教练是 tjd，他说这道题挺难，是十几年前的联赛难度 .

设 \(x\) 的唯一分解为：\(x=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_n^{\alpha_n}\) .

不难得出，\(y\) 的唯一分解为：

\[y=p_1^{\frac{50\alpha_1}{x}}p_2^{\frac{50\alpha_2}{x}}\dots p_n^{\frac{50\alpha_2}{x}} \]

所以可以导出一个结论：\(x\mid 50\alpha_i\) .

假设 \(x\) 含有除 \(2\) 和 \(5\) 之外其他素因子 \(p\)，并设 \(p^{a}\mathop{\Vert}x\)，由前边的结果可以得知 \(p^a\mid 50\alpha_i\)，又 \(p\ne 2,5\)，故 \(p^a\mid\alpha_i\)，但是，对于唯一分解中的 \(\alpha_i\) 一定是小于 \(p^a\) 的，所以假设不成立，因此 \(x\) 的素因子中只有 \(2\) 或 \(5\) .

设 \(x=2^{\alpha}\cdot 5^{\beta}\)，注意到 \(x\mid 50\alpha\)，\(x\mid 50\beta\)，所以 \(2^{\alpha}\mid 50\alpha\)，\(5^{\beta}\mid 50\beta\)，转化为 \(2^{\alpha-1}\mid \alpha\) 和 \(5^{\beta-2}\mid \beta\)，通过一些简单的归纳可得：\(0\le\alpha\le 2\)，\(0\le\beta\le 2\)，所以 \(x\) 只能取 \(1,2,2^2,5,5^2,2\times 5,2^2\times 5,2\times 5^2,2^2\times 5^2\) .

将 \(x\) 的所有取值代入可得所有的解为：\((x,y)=(1,1),(2,2^{25}),(2^2,2^{25}),(5,5^{10}),(5^2,5^4),(10,10^5),(50,50),(100,10)\) .