7.20 闲话

今日推歌：

MIMI - 「くうになる」 feat.KAFU
Chinozo -「チーズ」 feat.KAFU

---

今天比赛 T3 发现能 \(O(1)\) 求，和我的 \(O(n)\) 求法相等，导出了一个等式：

\[\sum_{i=0}^{n/2}\dfrac{n!}{i!^2(\frac n2-i)!^2}=\dfrac{n!^2}{\frac n2!^4}\quad(n\bmod 2=0) \]

考虑组合恒等式的终极答案：超几何函数

先证个引理：

---

\[F\left(\begin{gathered}a,b\\c\end{gathered}\middle| 1\right)=\frac{\Gamma(c-a-b)\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)} \]

\(b\in \Z\) 且 \(b<0\) 或 \(\Re c>\Re a+\Re b\)

考虑范德蒙德卷积公式：

\[\sum_k\binom{r}{k}\binom{s}{n-k}=\binom{r+s}{n} \]

通过两项之比将上式化为超几何形式得：

\[\begin{aligned} \binom{s}{n}F\left(\begin{gathered}-r,-n\\s-n+1\end{gathered}\middle| 1\right)&=\binom{r+s}{n}\\ F\left(\begin{gathered}-r,-n\\s-n+1\end{gathered}\middle| 1\right)&=\frac{(s-n)!(r+s)!}{s!(r+s-n)!} \end{aligned} \]

令 \(a=-r\)，\(b=-n\)，\(c=s-n+1\)，即得上边的式子，因为需要让组合数下指标有意义，所以 \(b\) 是负整数

---

左边式子的上界显然可以去掉，然后考虑相邻两项之比为：

\[\frac{t_{k+1}}{t_k}=\frac{(k-\frac n2)^2}{(k+1)^2} \]

所以这个级数可以用超几何函数表示为

\[\binom{n}{n/2}F\left(\begin{gathered}-\frac n2,-\frac n2\\1\end{gathered}\middle| 1\right) \]

将上述式子代入即可得到答案