CSP 模拟1

随

考场上一开始没意识到每次乘完要取模，直接想出来个 \(\dfrac{(\sum a_i)^m}{n^m}\) 的答案，然后仔细读了题，写了个矩阵快速递推就不想了（矩阵乘还写挂了）

发现每次是独立的，而且是与模数相关，可以类似快速幂的思路倍增处理，算出 \(2^i\) 时的答案，如果 \(2^i\) 在 \(m\) 的二进制表示中，则统计进总的答案，大概把快速幂中的乘换成更新操作就好了

单

考场上是正确思路，考虑相邻两个节点之差，但不清楚为什么思路没有引向正解

由 \(a\) 求 \(b\) 是显然的，直接换根 dp 两次 dfs 即可

由 \(a\) 求 \(b\) 的思路能导向由 \(b\) 求 \(a\)

考虑换根 dp 中从父亲 \(f\) 转移到儿子 \(x\) 的差值为 \((sum-siz_x)-siz_x\)，其中 \(siz_x\) 为以 \(x\) 为根的子树中 \(a_i\) 的和，\(sum\) 为所有 \(a_i\) 的和，假设以 1 为根，那么 \(b_1=\sum_{i=2}^n siz_i\)，与前边式子联立可解得 \(sum\)，进而就可解得 \(siz_i\)，然后解的 \(a_i\)

题

简单组合题，最后十多分钟才开始做，越做越急：

最后只做了 3 个任务

0. 因为最后回到原点，所以左右和上下的数量相等，计算 \(\sum_{i=0}^{\frac n2}\binom{n}{i,i,\frac n2-i,\frac n2-i}\) 即可
1. 卡特兰数定义，咋算都行
2. 直接 \(O(n^2)\) dp 即可
3. 把左下和右下看成 \(1\) 和 \(-1\)，发现左右和上下都满足卡特兰数的定义，再把左右和上下随便排列即可，式子为 \(\sum_{i=0}^{n/2}C_{i}C_{\frac n2-i}\binom{n}{n-2i}\)

DP搬运工 1

定义 dp 数组 \(f_{i,j,k}\) 的意义如下：

选到 \(i\) 时有 \(j+1\) 个连续段（或有 \(j\) 个空位）并且相邻最大值之和为 \(k\) 的方案数

答案显然就是 \(\sum_{i\le k}f_{n,0,i}\)

考虑如何转移第 \(i\) 个数：

• 直接接在最后一个连续段后面（或第一个前面），对 \(j\) 无影响，对 \(k\) 产生 \(i\) 的贡献
• 在最后一个连续段后边加一个空位，然后接在这个空位后面（或在第一个连续段前面加一个空位，然后接在前面），相当于多了一个连续段，对 \(j\) 产生 \(1\) 的贡献，对 \(k\) 无影响

如果有空位：

• 替换空位，对 \(j\) 产生 \(-1\) 的贡献，对 \(k\) 产生 \(2i\) 的贡献，有 \(j\) 种选择
• 接在空位边上，对 \(j\) 无影响，对 \(k\) 产生 \(i\) 的贡献，有 \(2j\) 种选择
• 将空位拆成两个然后把 \(i\) 放在中间，对 \(j\) 产生 \(1\) 的贡献，对 \(k\) 无影响，有 \(j\) 种选择