7/5 闲话

今天英语老师上课闲扯的东西感觉很有意思，大意是这样的：

你喜欢一个人的时候，你其实是喜欢自己，你在和自己谈恋爱，你把 ta 形象化了

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来一个形象化问题：

求

\[\sum_{i=1}^{n}\mu^2(i) \]

我们写出 \(\mu^2\) 的狄利克雷生成函数：

\[\prod_{\text{p is prime}}(1+\frac{1}{p^z}) \]

又有 \(\mu\) 的狄利克雷生成函数为：

\[\prod_{\text{p is prime}}(1-\frac{1}{p^z}) \]

所以 \(\mu *\mu^2\) 的狄利克雷生成函数为

\[\prod_{\text{p is prime}}(1-\frac{1}{p^{2z}}) \]

设 \(\mu *\mu^2=f\)，根据上述 \(f\) 的狄利克雷生成函数可得 \(f(x)=\mu(\sqrt x)\)（如果 \(x\) 不为整数 \(\mu(x)=0\) ）

又因为 \(\mu *\mu^2=f\Rightarrow \mu^2=f*1\)

所以：

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}\mu^2(i)&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d\mid i}f(d)\\ &=\sum_{i=1}^{n}\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor f(i)\\ &=\sum_{i=1}^{n}\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor \mu(\sqrt i)\\ &=\sum_{i=1}^{\sqrt n}\left\lfloor\frac{n}{i^2}\right\rfloor \mu(i)\\ \end{aligned} \]

这可比 这种 代数推导好多了

这种推导过程是否可扩展？