6/22 闲话

今日推歌:

Nocturne No.20 in C-sharp minor——Fryderyk Franciszek Chopin
Turkischer Marsch K.331——Mozart

歌词 你还想要歌词?

二项式反演一般有三种形式:

f(n)=i=0n(1)i(ni)g(i)g(n)=i=0n(1)i(ni)f(i)f(n)=i=0n(ni)g(i)g(n)=i=0n(1)ni(ni)f(i)f(n)=i=nm(in)g(i)g(n)=i=nm(1)in(in)f(i)

今天上课发呆瞎几把搞出了前两个的算子形式证明

式子 1

用算子形式改写得:

Enf=(1Eg)nEng=(1Ef)n

不难发现 Ef=1Eg 可以代入右侧证明充分性,Eg=1Ef 可以代入左侧证明必要性


式子 2

改写后得到:

Enf=(1+Eg)nEng=(Ef1)n

和刚才一样,得出 Ef=1+EgEg=Ef1 然后代入即可


式子 3

嗯构造还是能证出来的,但是不是很简洁就是了

定义算子 L 为:Lf(x)=f(x1)

我们要构造一个函数 h(x) 使得:

Lmnf(m)=(Eh(0)+Lg(m))mnf(n)=i=nm(in)g(i)

将算子形式式子展开:

f(n)=i=0mn(mni)Emnih(0)Lig(m)=i=0mn(mni)h(mni)g(mi)=i=nm(mnmi)h(in)g(i)

(mnmi)h(in)=(in)

所以构造出的 h(x) 为:

h(x)=(x+nn)(mnmnx)

由上述式子可得 Lg(m)=Lf(m)Eh(0)

故:

Lmng(m)=(Lf(m)Eh(0))mng(n)=i=0mn(mni)(1)mniEmnih(0)Lif(m)=i=0mn(mni)(1)mnih(mni)f(mi)=i=nm(mnmi)(1)inh(in)f(i)=i=nm(in)(1)inf(i)

由此得证

感觉第三个的证明很有启发性,可以作为一个标准处理方法使用

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