今日推歌:
Nocturne No.20 in C-sharp minor——Fryderyk Franciszek Chopin
Turkischer Marsch K.331——Mozart
歌词
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二项式反演一般有三种形式:
f(n)=n∑i=0(−1)i(ni)g(i)⟺g(n)=n∑i=0(−1)i(ni)f(i)f(n)=n∑i=0(ni)g(i)⟺g(n)=n∑i=0(−1)n−i(ni)f(i)f(n)=m∑i=n(in)g(i)⟺g(n)=m∑i=n(−1)i−n(in)f(i)
今天上课发呆瞎几把搞出了前两个的算子形式证明
式子 1
用算子形式改写得:
Enf=(1−Eg)n⟺Eng=(1−Ef)n
不难发现 Ef=1−Eg 可以代入右侧证明充分性,Eg=1−Ef 可以代入左侧证明必要性
式子 2
改写后得到:
Enf=(1+Eg)n⟺Eng=(Ef−1)n
和刚才一样,得出 Ef=1+Eg⇒Eg=Ef−1 然后代入即可
式子 3
嗯构造还是能证出来的,但是不是很简洁就是了
定义算子 L 为:Lf(x)=f(x−1)
我们要构造一个函数 h(x) 使得:
Lm−nf(m)=(Eh(0)+Lg(m))m−n⟺f(n)=m∑i=n(in)g(i)
将算子形式式子展开:
f(n)=m−n∑i=0(m−ni)Em−n−ih(0)Lig(m)=m−n∑i=0(m−ni)h(m−n−i)g(m−i)=m∑i=n(m−nm−i)h(i−n)g(i)
令 (m−nm−i)h(i−n)=(in)
所以构造出的 h(x) 为:
h(x)=(x+nn)(m−nm−n−x)
由上述式子可得 Lg(m)=Lf(m)−Eh(0)
故:
Lm−ng(m)=(Lf(m)−Eh(0))m−ng(n)=m−n∑i=0(m−ni)(−1)m−n−iEm−n−ih(0)Lif(m)=m−n∑i=0(m−ni)(−1)m−n−ih(m−n−i)f(m−i)=m∑i=n(m−nm−i)(−1)i−nh(i−n)f(i)=m∑i=n(in)(−1)i−nf(i)
由此得证
感觉第三个的证明很有启发性,可以作为一个标准处理方法使用
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