6/22 闲话

今日推歌：

Nocturne No.20 in C-sharp minor——Fryderyk Franciszek Chopin
Turkischer Marsch K.331——Mozart

歌词

你还想要歌词？

二项式反演一般有三种形式：

\[f(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i{n\choose i}g(i)\iff g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i{n\choose i}f(i)\\ f(n)=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}g(i)\iff g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}{n\choose i}f(i)\\ f(n)=\sum\limits_{i=n}^m{i\choose n}g(i)\iff g(n)=\sum\limits_{i=n}^m(-1)^{i-n}{i\choose n}f(i)\\ \]

今天上课发呆瞎几把搞出了前两个的算子形式证明

式子 1

用算子形式改写得：

\[\mathrm E^nf=(1-\mathrm Eg)^n\iff\mathrm E^ng=(1-\mathrm Ef)^n \]

不难发现 \(\mathrm Ef=1-Eg\) 可以代入右侧证明充分性，\(\mathrm Eg=1-Ef\) 可以代入左侧证明必要性

---

式子 2

改写后得到：

\[\mathrm E^nf=(1+\mathrm Eg)^n\iff \mathrm E^ng=(\mathrm Ef-1)^n \]

和刚才一样，得出 \(\mathrm Ef=1+\mathrm Eg\Rightarrow \mathrm Eg=\mathrm Ef-1\) 然后代入即可

---

式子 3

嗯构造还是能证出来的，但是不是很简洁就是了

定义算子 \(\mathrm L\) 为：\(\mathrm Lf(x)=f(x-1)\)

我们要构造一个函数 \(h(x)\) 使得：

\[\mathrm L^{m-n}f(m)=(\mathrm Eh(0)+\mathrm Lg(m))^{m-n}\iff f(n)=\sum\limits_{i=n}^m{i\choose n}g(i) \]

将算子形式式子展开：

\[\begin{aligned} f(n)&=\sum_{i=0}^{m-n}\binom{m-n}{i}\mathrm E^{m-n-i}h(0)\mathrm L^ig(m)\\ &=\sum_{i=0}^{m-n}\binom{m-n}{i}h(m-n-i)g(m-i)\\ &=\sum_{i=n}^{m}\binom{m-n}{m-i}h(i-n)g(i)\\ \end{aligned} \]

令 $$\binom{m-n}{m-i}h(i-n)=\binom{i}{n}$$

所以构造出的 \(h(x)\) 为：

\[h(x)=\dfrac{\binom{x+n}{n}}{\binom{m-n}{m-n-x}} \]

由上述式子可得 \(\mathrm Lg(m)=\mathrm Lf(m)-\mathrm Eh(0)\)

故：

\[\begin{aligned} \mathrm L^{m-n}g(m)&=(\mathrm Lf(m)-\mathrm Eh(0))^{m-n}\\ g(n)&=\sum_{i=0}^{m-n}\binom{m-n}{i}(-1)^{m-n-i}\mathrm E^{m-n-i}h(0)\mathrm L^{i}f(m)\\ &=\sum_{i=0}^{m-n}\binom{m-n}{i}(-1)^{m-n-i}h(m-n-i)f(m-i)\\ &=\sum_{i=n}^{m}\binom{m-n}{m-i}(-1)^{i-n}h(i-n)f(i)\\ &=\sum_{i=n}^{m}\binom{i}{n}(-1)^{i-n}f(i)\\ \end{aligned} \]

由此得证

感觉第三个的证明很有启发性，可以作为一个标准处理方法使用