一个式子

今天 jijidawang 找我问一个式子：

\[\sum\limits^n_{i=0}\binom{n}{i}f_i=f_{2n} \]

其中 \(f_0=1\, ,\, f_1=1\, ,\, f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}\,(n\ge 2)\)

设 $$S(n,m)=\sum\limits^n_{i=0}\binom{n}{i}f_{i+m}$$

那么我们要求的就是 \(S(n,0)\)

观察到这个东西可以做出以下转换

\[\begin{aligned} \sum\limits^n_{i=0}\binom{n}{i}f_{i+m} &= \sum\limits^n_{i=0}\left(\binom{n-1}{i-1}+\binom{n-1}{i}\right)f_{i+m}\\ &= \sum\limits^n_{i=0}\binom{n-1}{i}f_{i+m+1}+\binom{n-1}{i}f_{i+m}\\ &= \sum\limits^{n-1}_{i=0}\binom{n-1}{i}f_{i+m+2}\\ \end{aligned} \]

所以对于 \(S\) 来说有如下递归式 \(S(n,m)=S(n-1,m+2)\)，然后存在终止状态 \(S(0,m)=f_m\)

那么这个递归式能导出如下结果 \(S(n,m)=S(0,m+2n)=f_{m+2n}\)，所以我们以加强版解出了这个式子

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update on 2025/5/10：

我希望读到这里的人知道本影演算是什么东西，好让我们开始：

令线性泛函 \(L(z^n)=f_n\)，好注意到这个线性泛函具有性质：\(L(z+1)=L(z)+L(1)=f_1+f_0=f_2=(z^2)\)

接下来直接来证明加强版的：

\[\begin{aligned} \sum\limits^n_{i=0}\binom{n}{i}f_{i+m} &= \sum\limits^n_{i=0}\binom{n}{i}L(z^{i+m})\\ &=L\left(\sum\limits^n_{i=0}\binom{n}{i}z^{i+m}\right)\\ &=L\left(z^m\sum\limits^n_{i=0}\binom{n}{i}z^i\right)\\ &=L\left(z^m(1+z)^n\right)\\ &=L\left(z^m(z^2)^n\right)\\ &=L(z^{m+2n})\\ &=f_{m+2n} \end{aligned} \]

hooray!!

这是不是显然多了，本影演算之力！