各种证明填坑

打算把之前没有证明的东西补一下

辗转相除法

\[\gcd(a,b)=\gcd(a\bmod b,b)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(a \le b) \]

设 \(a=kb+r\,\,\,\,d=\gcd(a,b)\)

可得 \(\frac{a}{d}=k\cdot\frac{b}{d}+\frac{r}{d}\)

由上式可得 \(\frac{r}{d}\) 为整数

所以 \(d\mid r\)，由此得证

斐波那契数列一些性质

\[f_{n+m}=f_{n}\cdot f_{m+1}+f_{n-1}\cdot f_{m} \tag{Lemma 1} \]

对于 \(m=1,2\) 时，易证：

\[f_{n+1}=f_n+f_{n-1}\\ f_{n+2}=2f_n+f_{n-1} \]

假设对于 \(m\le k\) 成立，现在证明对于 \(m=k+1\) 成立

\[\begin{aligned} f_{n+k+1} &= f_{n+k}+f_{n+k-1}\\ &= f_n\cdot(f_{k}+f_{k-1})+f_{n-1}\cdot(f_{k-1}+f_{k-2})\\ &= f_{n}\cdot f_{k+2}+f_{n-1}\cdot f_{k+1} \end{aligned} \]

可以写成这种形式

\[f_n=f_{(n-m)+m}=f_{n-m}\cdot f_{m+1}+f_{n-m-1}\cdot f_{m} \]

\[n \mid m \Rightarrow f_n\mid f_m \]

设 \(m=kn\)

还是数学归纳法，对于 \(k=1\) 时显然成立

假设对于 \(k=p\) 成立，证明对于 \(k=p+1\) 成立

$f_{pn+n}=f_{pn}\cdot f_{n+1}+f_{pn-1}\cdot f_n $

$ f_n\mid f_{pn},f_n \Rightarrow f_n\mid f_{pn}\cdot f_{n+1}+f_{pn-1}\cdot f_n=f_{pn+n} $

由此得证

还有不少，但是先咕