各种证明填坑

打算把之前没有证明的东西补一下

辗转相除法

gcd(a,b)=gcd(amodb,b)(ab)

a=kb+rd=gcd(a,b)

可得 ad=kbd+rd

由上式可得 rd 为整数

所以 dr,由此得证

斐波那契数列一些性质

(Lemma 1)fn+m=fnfm+1+fn1fm

对于 m=1,2 时,易证:

fn+1=fn+fn1fn+2=2fn+fn1

假设对于 mk 成立,现在证明对于 m=k+1 成立

fn+k+1=fn+k+fn+k1=fn(fk+fk1)+fn1(fk1+fk2)=fnfk+2+fn1fk+1

可以写成这种形式

fn=f(nm)+m=fnmfm+1+fnm1fm

nmfnfm

m=kn

还是数学归纳法,对于 k=1 时显然成立

假设对于 k=p 成立,证明对于 k=p+1 成立

fpn+n=fpnfn+1+fpn1fn

fnfpn,fnfnfpnfn+1+fpn1fn=fpn+n

由此得证

还有不少,但是先咕

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