打算把之前没有证明的东西补一下
辗转相除法
gcd(a,b)=gcd(amodb,b)(a≤b)
设 a=kb+rd=gcd(a,b)
可得 ad=k⋅bd+rd
由上式可得 rd 为整数
所以 d∣r,由此得证
斐波那契数列一些性质
fn+m=fn⋅fm+1+fn−1⋅fm(Lemma 1)
对于 m=1,2 时,易证:
fn+1=fn+fn−1fn+2=2fn+fn−1
假设对于 m≤k 成立,现在证明对于 m=k+1 成立
fn+k+1=fn+k+fn+k−1=fn⋅(fk+fk−1)+fn−1⋅(fk−1+fk−2)=fn⋅fk+2+fn−1⋅fk+1
可以写成这种形式
fn=f(n−m)+m=fn−m⋅fm+1+fn−m−1⋅fm
n∣m⇒fn∣fm
设 m=kn
还是数学归纳法,对于 k=1 时显然成立
假设对于 k=p 成立,证明对于 k=p+1 成立
fpn+n=fpn⋅fn+1+fpn−1⋅fn
fn∣fpn,fn⇒fn∣fpn⋅fn+1+fpn−1⋅fn=fpn+n
由此得证
还有不少,但是先咕
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