组合恒等式

只是之前写过的,拿出来新开个专题

(1)(nm)=(nnm)

组合推理:选 m 的和选 m 的补集的情况数是一样的


(2)(nm)=(n1m)+(n1m1)

组合推理:考虑选不选第 n 个,不选的情况为 (n1m),选的情况为 (n1m1)


(3)k(nk)=n(n1k1)

吸收恒等式,组合意义为从 n 个人中选 k 个人,并指定一人成为队长,由组合数定义也可推出,作为组合数其中一种推导式使用,可以与这个恒等式相搭配:(nk)(nk)=n(n1k),实现组合数上标下标的增减


(4)(rm)(mk)=(rk)(rkmk)

组合推理:左式的组合意义是从 r 个中选 m 个,再从这 m 个中选 k 个,所以可以先从 r 个中选 k 个,再从剩下的 rk 个中选剩下的 mk


(5)k=0n(m1k)(m2nk)=(m1+m2n)

两种证明:

  1. 组合意义
    m1+m2 个东西分成个数分别为 m1m2 的两份,然后从这两份中取总计 n 份的东西
  2. 二项式定理

(1+x)m1(1+x)m2=(1+x)m1+m2i=1m1xi(m1i)i=1m2xi(m2i)=i=1m1+m2xi(m1+m2i)

(m1+m2n) 就是 xn 的系数
因为 xn=xnixi (显然吧)
所以易得, (m1+m2n) 就等于 i=0n(m1i)(m2ni)


(6)i=1n(ni)2=(2nn)

这是上式的特殊情况,取 m1=m2


(7)i=1ni(ni)=n2n1

证明:

(1+x)n=i=0n(ni)xi

把此式两边求导,得到:

n(1+x)n1=i=1ni(ni)xi1

x=1 代入,即是原式


(8)n(n+1)2n2=i=1ni2(ni)

这个式子是对上式的进一步求导,不再赘述,其实只要可以的话,可以得到 i=1nip(ni) 对于任意正整数的恒等式,但求导也会越来越复杂

但是呢,据《组合数学》所言,这东西有组合意义,不会推,谁会证在评论说一下


(9)i=1ni(ni)2=n(2n1n1)

组合推理:考虑 n 个男生和 n 个女生,选取 n 个人组成团队,一个男生是领导(其实在这种意义下 (ni)2 应写作 (ni)(nni)


(10)i=0n(1)i(ni)=[n=0]

二项式定理的特殊情况,取 a=1,b=1,仅当 n=0 时式子取值为 1可以反演

有一个推论:2in(ni)=2in(ni) 移项即可推出


(11)i=0n(1)i(ni)2={0n2m(mZ)(1)m(2mm)n=2m

证明:由 (1x2)n=(1+x)n(1x)n 可推导

(1x2)n=(1+x)n(1x)ni=0n(1)i(ni)x2i=i=0n(ni)xii=0n(1)i(ni)xi

对着这个式子可以推出 xn 的系数,对于左边式子来说,只有 n 为偶数时才有系数,对于 n 为奇数,系数为 (1)m(2mm),而右边式子 xn 的系数为 i=0n(1)i(nni)(ni)=i=0n(1)i(ni)2,系数相等,由此得证


(12)i=0n(ni)=2n

二项式定理特殊情况,a=1,b=1
组合意义:(ni) 表示 n 个元素中含 i 个元素的子集数量,求和即为 n 个元素的子集数量 2n


(13)i=0n(ik)=(n+1k+1)

组合推理:在 n+1 个球里拿 k+1 个,最后一个拿的是第 i 个,则情况数为 (ik),累加即为总数——(n+1k+1)


(14)i=0n(m+ii)=(n+m+1n)

证明(会用到 (13) ):

i=0n(m+ii)=i=0n(m+im)=i=mn+m(im)+0=i=mn+m(im)+i=0m1(im)=i=0n+m(im)=(n+m+1m+1)=(n+m+1n)

这个东西也可以进行扩展到上下均有值的情况

i=0n(m+is+i)=i=0n(m+ims)=i=0n+m(ims)=(n+m+1ms+1)=(n+m+1n+s)


(15)i=0n(nk)rk=(1+r)n

又是二项式定理,a=m,b=1


(16)i=0n(nii)=fn+1fi 为斐波那契数列第 i 项)

设原数列为 gi 则显然 g0=f1,g1=f2,只需要验证是否存在 gi=gi1+gi2 即可
然后我们把它放在杨辉三角里,结论就显而易见了:

图裂了

这个表格最上面一行是 gi ,在杨辉三角中表现为对它所在斜线的数进行求和
又因为杨辉三角的递推式,观察表格,显然就能得出结论

我觉得这东西应该有一个巧妙的组合意义,但我想不出来(

posted @   Rolling_star  阅读(440)  评论(5编辑  收藏  举报
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