只是之前写过的,拿出来新开个专题
(nm)=(nn−m)(1)
组合推理:选 m 的和选 m 的补集的情况数是一样的
(nm)=(n−1m)+(n−1m−1)(2)
组合推理:考虑选不选第 n 个,不选的情况为 (n−1m),选的情况为 (n−1m−1)
k(nk)=n(n−1k−1)(3)
吸收恒等式,组合意义为从 n 个人中选 k 个人,并指定一人成为队长,由组合数定义也可推出,作为组合数其中一种推导式使用,可以与这个恒等式相搭配:(n−k)(nk)=n(n−1k),实现组合数上标下标的增减
(rm)(mk)=(rk)(r−km−k)(4)
组合推理:左式的组合意义是从 r 个中选 m 个,再从这 m 个中选 k 个,所以可以先从 r 个中选 k 个,再从剩下的 r−k 个中选剩下的 m−k 个
n∑k=0(m1k)(m2n−k)=(m1+m2n)(5)
两种证明:
- 组合意义
把 m1+m2 个东西分成个数分别为 m1 和 m2 的两份,然后从这两份中取总计 n 份的东西
- 二项式定理
(1+x)m1(1+x)m2=(1+x)m1+m2m1∑i=1xi(m1i)m2∑i=1xi(m2i)=m1+m2∑i=1xi(m1+m2i)
(m1+m2n) 就是 xn 的系数
因为 xn=xn−ixi (显然吧)
所以易得, (m1+m2n) 就等于 n∑i=0(m1i)(m2n−i)
n∑i=1(ni)2=(2nn)(6)
这是上式的特殊情况,取 m1=m2
n∑i=1i(ni)=n2n−1(7)
证明:
(1+x)n=n∑i=0(ni)xi
把此式两边求导,得到:
n(1+x)n−1=n∑i=1i(ni)xi−1
将 x=1 代入,即是原式
n(n+1)2n−2=n∑i=1i2(ni)(8)
这个式子是对上式的进一步求导,不再赘述,其实只要可以的话,可以得到 n∑i=1ip(ni) 对于任意正整数的恒等式,但求导也会越来越复杂
但是呢,据《组合数学》所言,这东西有组合意义,不会推,谁会证在评论说一下
n∑i=1i(ni)2=n(2n−1n−1)(9)
组合推理:考虑 n 个男生和 n 个女生,选取 n 个人组成团队,一个男生是领导(其实在这种意义下 (ni)2 应写作 (ni)(nn−i))
n∑i=0(−1)i(ni)=[n=0](10)
二项式定理的特殊情况,取 a=1,b=−1,仅当 n=0 时式子取值为 1,可以反演
有一个推论:n∑2∣i(ni)=n∑2∤i(ni) 移项即可推出
n∑i=0(−1)i(ni)2=⎧⎪⎨⎪⎩0n≠2m(m∈Z)(−1)m(2mm)n=2m(11)
证明:由 (1−x2)n=(1+x)n(1−x)n 可推导
(1−x2)n=(1+x)n(1−x)nn∑i=0(−1)i(ni)x2i=n∑i=0(ni)xin∑i=0(−1)i(ni)xi
对着这个式子可以推出 xn 的系数,对于左边式子来说,只有 n 为偶数时才有系数,对于 n 为奇数,系数为 (−1)m(2mm),而右边式子 xn 的系数为 n∑i=0(−1)i(nn−i)(ni)=n∑i=0(−1)i(ni)2,系数相等,由此得证
n∑i=0(ni)=2n(12)
二项式定理特殊情况,a=1,b=1
组合意义:(ni) 表示 n 个元素中含 i 个元素的子集数量,求和即为 n 个元素的子集数量 2n
n∑i=0(ik)=(n+1k+1)(13)
组合推理:在 n+1 个球里拿 k+1 个,最后一个拿的是第 i 个,则情况数为 (ik),累加即为总数——(n+1k+1)
n∑i=0(m+ii)=(n+m+1n)(14)
证明(会用到 (13) ):
n∑i=0(m+ii)=n∑i=0(m+im)=n+m∑i=m(im)+0=n+m∑i=m(im)+m−1∑i=0(im)=n+m∑i=0(im)=(n+m+1m+1)=(n+m+1n)
这个东西也可以进行扩展到上下均有值的情况
n∑i=0(m+is+i)=n∑i=0(m+im−s)=n+m∑i=0(im−s)=(n+m+1m−s+1)=(n+m+1n+s)
n∑i=0(nk)rk=(1+r)n(15)
又是二项式定理,a=m,b=1
n∑i=0(n−ii)=fn+1(fi 为斐波那契数列第 i 项)(16)
设原数列为 gi 则显然 g0=f1,g1=f2,只需要验证是否存在 gi=gi−1+gi−2 即可
然后我们把它放在杨辉三角里,结论就显而易见了:

这个表格最上面一行是 gi ,在杨辉三角中表现为对它所在斜线的数进行求和
又因为杨辉三角的递推式,观察表格,显然就能得出结论
我觉得这东西应该有一个巧妙的组合意义,但我想不出来(
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