老标题党了,其实这个只说Wilson定理
不知道为什么要把这四个放在一起称作四大定理,费马小定理完全是欧拉定理的特殊情况好吧……这个博客讲的是威尔逊定理,其他三个在我其他的博客都有说
Wilson定理的内容是这样的:
(p−1)!≡−1(modp)⇔p∈P
(p−1)!≡−1(modp)⇒p∣(p−1)!+1
如果 p 不是素数的话,必定有一个素因子,设它为 a ,则 a∣(p−1)! (因为 a≤p−1 )
∴a∤(p−1)!+1p∣(p−1)!+1⇒a∣(p−1)!+1
前后矛盾,所以 p 为素数
可以发现,在模 p 意义下,1,2,…,p−1 的逆元均存在且唯一,根据逆元定义,1,2,3,…,p−1 的逆元也在这些数之中,可以两两配对(因为 i−1 互不相同,原因:如果 ∃a,b,使得 a−1≡b−1(modp),则两边同时乘上 ab,得 b≡a(modp),与事实矛盾),使模 p 等于一,逆元等于自身的除外,逆元等于自身的只有 1 和 p−1 ,所以
(p−1)!≡p−1(modp)⇒(p−1)!≡−1(modp)
p 等于2时特判一下即可
逆元等于自身的只有 1,p−1 的原因
列出来同余方程:
k2≡1(modp)⇒k2−1≡0(modp)⇒(k+1)(k−1)≡0(modp)
说明 p∣k−1 或 p∣k+1,而 p 为素数,因子只有 1 和它本身
所以 k−1=p,k+1=p ,解得逆元为 1,p−1
先咕着,什么时候有时间再更
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