数论四大定理——威尔逊定理,欧拉定理,费马小定理,中国剩余定理

老标题党了,其实这个只说Wilson定理

不知道为什么要把这四个放在一起称作四大定理,费马小定理完全是欧拉定理的特殊情况好吧……这个博客讲的是威尔逊定理,其他三个在我其他的博客都有说

Wilson定理的内容是这样的:

(p1)!1(modp)pP

  • 必要性的证明:

(p1)!1(modp)p(p1)!+1

如果 p 不是素数的话,必定有一个素因子,设它为 a ,则 a(p1)! (因为 ap1

a(p1)!+1p(p1)!+1a(p1)!+1

前后矛盾,所以 p 为素数

  • 充分性的证明:

可以发现,在模 p 意义下,1,2,,p1 的逆元均存在且唯一,根据逆元定义,1,2,3,,p1 的逆元也在这些数之中,可以两两配对(因为 i1 互不相同,原因:如果 a,b,使得 a1b1(modp),则两边同时乘上 ab,得 ba(modp),与事实矛盾),使模 p 等于一,逆元等于自身的除外,逆元等于自身的只有 1p1 ,所以

(p1)!p1(modp)(p1)!1(modp)

p 等于2时特判一下即可

逆元等于自身的只有 1,p1 的原因

列出来同余方程:

k21(modp)k210(modp)(k+1)(k1)0(modp)

说明 pk1pk+1,而 p 为素数,因子只有 1 和它本身

所以 k1=p,k+1=p ,解得逆元为 1,p1

  • 推论

先咕着,什么时候有时间再更

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