数论四大定理——威尔逊定理，欧拉定理，费马小定理，中国剩余定理
老标题党了，其实这个只说Wilson定理
不知道为什么要把这四个放在一起称作四大定理，费马小定理完全是欧拉定理的特殊情况好吧……这个博客讲的是威尔逊定理，其他三个在我其他的博客都有说
Wilson定理的内容是这样的：
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必要性的证明：
\( (p-1)!\equiv -1 \pmod p\\ \Rightarrow p\mid (p-1)!+1 \)
如果 \(p\) 不是素数的话，必定有一个素因子，设它为 \(a\) ，则 \(a\mid (p-1)!\) （因为 \(a\le p-1\) ）
\( \therefore a\not\mid (p-1)!+1\\ p\mid (p-1)!+1\Rightarrow a\mid (p-1)!+1 \)
前后矛盾，所以 \(p\) 为素数
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充分性的证明：
可以发现，在模 \(p\) 意义下，\(1,2,\dots,p-1\) 的逆元均存在且唯一，根据逆元定义，\(1,2,3,\dots,p-1\) 的逆元也在这些数之中，可以两两配对（因为 \(i^{-1}\) 互不相同，原因：如果 \(\exist \,a,b\)，使得 \(a^{-1}\equiv b^{-1}\pmod p\)，则两边同时乘上 \(ab\)，得 \(b\equiv a\pmod p\)，与事实矛盾），使模 \(p\) 等于一，逆元等于自身的除外，逆元等于自身的只有 \(1\) 和 \(p-1\) ，所以
\((p-1)!\equiv p-1 \pmod p\Rightarrow (p-1)!\equiv -1 \pmod p\)
\(p\) 等于2时特判一下即可
逆元等于自身的只有 $1,p-1$ 的原因
列出来同余方程：
\( k^2\equiv 1\pmod p\\ \Rightarrow k^2-1\equiv 0\pmod p\\ \Rightarrow (k+1)(k-1)\equiv 0\pmod p \)
说明 \(p\mid k-1\) 或 \(p\mid k+1\)，而 \(p\) 为素数，因子只有 \(1\) 和它本身
所以 \(k-1=p,k+1=p\) ，解得逆元为 \(1,p-1\)
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推论
先咕着，什么时候有时间再更
