【莫比乌斯】HDU 4746 Mophues

通道：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4746

题意：定义f(x) = x分解质因数出来的因子个数，如 x = p0 * p0 * p0 * p1 * p2，则f(x) = 5，特殊的, f(1) = 0，求 i = [1..n], j = [1..m] 组成的n*m组(i, j)对中，有多少组f( gcd(i,j) ) <= p

思路：设A(d)：gcd(a, b)=d的有多少种

     设B(j): gcd(a, b)是j的倍数的有多少种，易知B(j) = (n/j)*(m/j)

     则由容斥原理得：（注：不同行的μ是不相同的，μ为莫比乌斯函数）

     A(1) = μ(1)*B(1) + μ(2)*B(2) + μ(3)*B(3) + ... + μ(p1*p2...)*B(p1*p2...)

     A(2) = μ(1)*B(1*2) + μ(2)*B(2*2) + μ(3)*B(3*2) + ... + μ(p1*p2..)*B(p1*p2..*2)

     ...

     A(d) = μ(1)*B(1*d) + μ(2)*B(2*d) + μ(3)*B(3*d) + ... + μ(p1*p2..)*B(p1*p2..*d)

 

     ans = A(1)+A(2)+...+A(d) = F(1)*B(1) + F(2)*B(2) + ... + F(p1*p2..)*B(p1*p2..)

     于是可以枚举公约数i{表示A(i)}，利用筛法找出i的倍数j，i对B(j)的贡献系数为：F(j)+=μ(j/i)

     总之，求出B(j)的总贡献系数F(j)即可得答案：F(1)*B(1)+F(2)*B(2)+...+F(n)*B(n)

     上面没有限制gcd的素因子个数，要限制其实不难，给系数加多一维即可：

     F(d)(p)表示：素因子个数<=p时，对B(d)的贡献系数

   

     分块加速思想

     你可以再纸上模拟一下：设d在[i, n/(n/i)]的区间上，则该区间内所有的n/d都是一样的。

代码：https://github.com/Mithril0rd/Rojo/blob/master/hdu4746.cpp

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