【BZOJ3518】点组计数

Description

　　
　　平面上摆放着一个\(n*m\)的点阵（下图所示是一个3*4的点阵）。Curimit想知道有多少三点组(a，b，c)满足以a，b，c三点共线。这里a，b，c是不同的3个点，其顺序无关紧要。(即(a，b，c)和
(b，c，a)被认为是相同的）。由于答案很大，故你只需要输出答案对1，000，000，007的余数就可以了。
　　

　　
　　\(1\le n,m\le50000\).
　　
　　
　　
　　　　　

Solution

　　
　　首先是横着的和竖着的点组，总共有\(m{n \choose 3}+n{m\choose 3}\)种方案。
　　　
　　接下来是斜着的点组，怎么统计？
　　
　　我想复杂了，想枚举A点和B点，然后作一条射线，统计射线上有多少个点......
　　
　　更加简洁的做法是：枚举A点和C点，然后看两点的连线经过多少个点。现在只考虑A在C的左上角的情况，A在C右上角的情况同理，只需要对答案乘2。
　　
　　我们枚举\(C\)相对\(A\)偏移值\(x\)和\(y\)，若\(A(i,j)\)，则\(C(i+x,j+y)\)。这样的\(AC\)组合会出现\((n-x)(m-y)\)次。我们发现，\(AC\)连线经过的点数恰好是\(\gcd(x,y)-1\)，因此左上往右下斜的答案就是：

\[\begin{aligned} S&=\sum_{x=1}^{n-1}\sum_{y=1}^{m-1}(n-x)(m-y)(\gcd(x,y)-1)\\ S+\sum_{x=1}^{n-1}\sum_{y=1}^{m-1}(n-x)(m-y)&=\sum_{x=1}^{n-1}\sum_{y=1}^{m-1}(n-x)(m-y)\gcd(x,y)\\ \end{aligned} \]

　　左边的和式可以直接算，我们关心右边：这里用到了欧拉函数的性质\(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\)：

\[\begin{aligned} 右边&=\sum_{x=1}^{n-1}\sum_{y=1}^{m-1}(n-x)(m-y)\sum_{d|\gcd(x,y)}\varphi(d)\\ &=\sum_{d=1}^{\min(n-1,m-1)}\varphi(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n-1}d\rfloor}(n-i*d)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m-1}d\rfloor}(m-j*d) \end{aligned} \]

　　枚举\(d\)，用等差数列求和\(O(1)\)算出后面的部分，于是这一段部分也就计算完了！那么总答案就是：

\[Ans=m{n \choose 3}+n{m\choose 3}+S \]

　　
　　

Code

　　

#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=50005,MOD=1e9+7,INV2=500000004;
int n,m;
bool vis[N];
int p[N],pcnt,phi[N];
int fact[N],invfact[N];
inline int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
inline int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
inline int ksm(int x,int y){
	int res=1;
	for(;y;x=1LL*x*x%MOD,y>>=1)
		if(y&1) res=1LL*res*x%MOD;
	return res;
}
void sieve(){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(!vis[i]){
			p[++pcnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=pcnt&&i*p[j]<N;j++){
			int x=i*p[j];
			vis[x]=true;
			if(i%p[j]==0){
				phi[x]=phi[i]*p[j];
				break;
			}
			phi[x]=phi[i]*(p[j]-1);
		}
	}
}
inline int C(int n,int m){
	if(m<0||m>n) return 0;
	return 1LL*fact[n]*invfact[m]%MOD*invfact[n-m]%MOD;
}
inline int calc(int a,int d){
	return (1LL*((a-1)/d)*a%MOD-1LL*INV2*d%MOD*((a-1)/d+1)%MOD*((a-1)/d)%MOD)%MOD;
}
int main(){
	sieve();
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int maxs=max(n,m),mins=min(n-1,m-1);
	fact[0]=1;
	for(int i=1;i<=maxs;i++) fact[i]=1LL*fact[i-1]*i%MOD;
	invfact[maxs]=ksm(fact[maxs],MOD-2);
	for(int i=maxs-1;i>=0;i--) invfact[i]=1LL*invfact[i+1]*(i+1)%MOD;
	int ans=0;			
	for(int d=1;d<=mins;d++)
		(ans+=1LL*phi[d]*calc(n,d)%MOD*calc(m,d)%MOD)%=MOD;
	for(int i=1;i<n;i++)	
		(ans-=1LL*(n-i)*(1LL*m*(m-1)%MOD*INV2%MOD)%MOD)%=MOD;
	ans=2LL*ans%MOD;
	(ans+=(1LL*n*C(m,3)%MOD+1LL*m*C(n,3)%MOD)%MOD)%MOD;
	printf("%d\n",ans<0?ans+MOD:ans);
	return 0;
}