【Learning】带花树——一般图最大匹配
问题
给定一个图，求该图的最大匹配。即找到最多的边，使得每个点至多属于一条边。
这个问题的退化版本就是二分图最大匹配。
由于二分图中不存在奇环，偶环对最大匹配并无影响（可以调整）。所以增广路算法是可以顺利应用的。
在一般图中，我们还是尝试使用BFS增广路的算法。
然而一般图中还会出现奇环，在寻找增广路的时候，怎么处理奇环上的冲突？
目的就是将奇环不断地缩起来（缩花），使得整个图在使用增广算法的时候不受影响，即不会经过奇环。
花
一朵花由一个奇环缩点而成，一朵花里面可能还会有花。
设这个奇环共有\(2k+1\)个点，那么在环内至多可以匹配到\(k\)条边，还会多出一个孤单的点。
但是，形象地说，这个点可以在环里面自由移动。
在图上将每个奇环缩成一个点成为一朵花，其实和原图是等价的，为什么？
因为如果有合法增广路经过这朵花，在交替匹配边的时候，这朵花一定能通过那个自由点适应变化。
画个图就明白了。
使用并查集维护花，所有点的代表元指向这朵花里面在这次增广时BFS树中深度最浅的点。
实现
从每个未匹配的点开始进行BFS，找到一条合法增广路径以后，增广并退出。
记这个未匹配的点为0类点，之后的点按10交替标序。
每次在一个0点，枚举下一个点：
1. 如果下一个点没有匹配，那么就找到了一个增广路，回溯并增广。
2. 如果下一个点有匹配，那么就把它的匹配点加入队列中。
设在搜索过程中，搜到连成环的边是\((u,v)\)。
如果连成偶环，不需要理会；如果连成奇环，并且\(u\)和\(v\)不在一朵花内，就要对整个奇环缩花了。
搜到奇环的时候，由于每次从0点枚举下一个点，\(u\)和\(v\)都是0点，环一定是这样的：
首先要求出\(u\)和\(v\)的花意义下的\(lca\)，它也是\(0\)点。做法是不断暴力向上跳，实际上是两个两个地跳。
伪代码如下：
int getlca(int x,int y){
clear visit[];
x=find(x); y=find(y);
while(1){
if(x){
if(x has been visited) return x;
visit[x]=1;
x=find(pre[match[x]])
}
swap(x,y);
}
}
其中\(match[x]\)记录的是\(x\)的匹配点，而\(pre\)记录的是每个1点的BFS父亲，\(find(x)\)返回\(x\)所属花的代表元。
广义的讲，\(pre[x]\)的定义是如果\(x\)点失去了当前匹配点，那么它应该匹配谁。
然后，对整个环缩花，从\((u,v)\)这条边向两边迭代。由于两边情况相同，一个函数调用两次即可：
int lca=getlca(u,v);
blossom(u,v,lca);
blossom(v,u,lca);
首先是\(x\)和\(y\)的\(pre\)要互连，其次是把两个点的并查集的父亲设为\(lca\)（如果它是并查集的代表元，不是的话待会会遍历到的）。
最后要将环中的1点全部扔进队列里，因为整个环缩起来了以后成为了一个点，要继续作为一个点寻找增广路，等价的做法就是把花里的所有点扔进队列（此时0点已经进过队列了所以不用扔）；而缩起来的花是一个0点，故要将所有点的标号设为0（把1点设为0点就好）。
代码中，用\(s[]\)记录标号。
void blossom(int x,int y,int lca){
while(find(x)!=lca){
pre[x]=y;
if(s[match[x]]==1){
s[match[x]]=0;
q.push(match[x]);
}
if(fa[x]==x) fa[x]=lca;
if(fa[match[x]]==match[x]) fa[match[x]]=lca;
y=match[x];
x=pre[y];
}
}
完整代码如下
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=510,M=125000;
int n,m;
int h[N],tot;
int match[N],s[N],pre[N],vis[N],tim;
int fa[N];
queue<int> q;
struct Edge{int v,next;}g[M*2];
inline void addEdge(int u,int v){
g[++tot].v=v; g[tot].next=h[u]; h[u]=tot;
g[++tot].v=u; g[tot].next=h[v]; h[v]=tot;
}
inline int find(int x){return fa[x]==x?x:(fa[x]=find(fa[x]));}
int getlca(int x,int y){
tim++;
x=find(x); y=find(y);
for(;;x^=y^=x^=y)
if(x){
if(vis[x]==tim) return x;
vis[x]=tim;
x=find(pre[match[x]]);
}
}
void blossom(int x,int y,int lca){
while(find(x)!=lca){
pre[x]=y;
if(s[match[x]]==1){
s[match[x]]=0;
q.push(match[x]);
}
if(fa[x]==x) fa[x]=lca;
if(fa[match[x]]==match[x]) fa[match[x]]=lca;
y=match[x];
x=pre[y];
}
}
int solve(int x){
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
memset(s,-1,sizeof s);
memset(pre,0,sizeof pre);
while(!q.empty()) q.pop();
s[x]=0;
q.push(x);
while(!q.empty()){
int u=q.front(); q.pop();
for(int i=h[u],v;i;i=g[i].next){
v=g[i].v;
if(s[v]==-1){
pre[v]=u;
s[v]=1;
if(!match[v]){
for(int go=1;go;v=go,u=pre[go]){
go=match[u];
match[u]=v; match[v]=u;
}
return 1;
}
s[match[v]]=0;
q.push(match[v]);
}
else if(!s[v]&&find(u)!=find(v)){
int lca=getlca(u,v);
blossom(u,v,lca);
blossom(v,u,lca);
}
}
}
return 0;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
int u,v;
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d",&u,&v);
addEdge(u,v);
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!match[i])
ans+=solve(i);
printf("%d\n",ans);
for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",match[i]);
return 0;
}
